Bestäm alla heltal n med Φ(𝑛) = 8
Hej pluggakutare!
Jag sitter och förbereder mig inför en tenta, och tycker att de uppgifter som handlar om att hitta tal som ger ett särskilt ϕ(n) är väldigt svåra att lösa... Tänker att jag kanske borde börja med en av de lättare och jobba vidare därifrån.
Tex denna uppgift: Bestäm alla heltal n med Φ(𝑛) = 8
Hur gör man då på bästa sätt?
I lärarens lösningsförslag så står det: "Svar: om n är delbart med ett udda primtal p måste p-1 vara en 2-potens och inte större än 8. N kan inte heller vara delbart med 𝑝 ^2 . Så 𝑛 = 2* 3+ 5, där b och c är <2. Vi får 5 möjligheter: 𝑛 = 8 ∙ 3, 𝑛 = 4 ∙ 5, 𝑛 = 3 ∙ 5 , 𝑛 = 2 ∙ 3 ∙ 5 𝑠𝑎𝑚𝑡 𝑛 = 16 Svar: 𝑛 = 15, 16, 20, 24, 30."
Och det ser ju ut att vara en väldigt koncis och tjusig lösning, men det låser sig direkt för mig när jag ska försöka förstå och lösa den själv... :( Samma med dom övriga Φ(𝑛)-uppgifterna.
De övriga uppgifterna ser ut såhär:
Bestäm alla positiva heltal 𝑛 med Φ(𝑛) = 12
Bestäm alla positiva heltal n sådana att 𝑛 = 2Φ(𝑛)
Bestäm alla positiva heltal n sådana att Φ(𝑛) inte är delbart med 4
Finns det någon allmän strategi som man kan lära sig och anlägga på alla uppgifter av den här sorten?
Har kommit en liten bit på vägen nu med en (förhoppningsvis) generell strategi som känns bekväm än så länge:
1: kolla primtalet ovanför.
Om p primtal så Φ(𝑛) = p-1
9 är inget primtal så vi stryker den. Inga primtal >9 funkar heller för då blir Φ(p) > 8
2: Uteslut primtal <9
Om p delar n så måste p-1 dela Φ(𝑛)
Primtalet 7: 6 delar inte 8 så denna kan vi stryka
5: 4 delar 8, så den behålls
3: 2 delar 8 så den behålls
2: 1 delar 8 så den behålls
3: sammanfatta formen som gäller
Det följer att n = 2a3b5c
...och så ska jag fortsätta nu...!
Alright, jag löste den nu och känslan av hopplöshet är inte längre total!
Ska försöka vidare på egen hand med de övriga, återkommer om jag inte fixar dom!
