Bestäm alla komplexa tal sådana att z + 1/z är reellt.

Kan angripas på många olika sätt

Alt 1: Skriv om ekvationen på kvadratisk form mec $z = a + ib$ och välj a och b så att imaginärdelen av uttrycket $z + 1/z$ är 0.

Alt 2: Skriv om ekvationen på polär form $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ och välj argument och belopp så att imaginärdelen av uttrycket $z+1/z$ är 0.

Alt 3. Använd principen att $Im(z + 1/z) = 0$ direkt med $Im(w) = (w - \bar{w})/i2 = 0$ applicerat på uttrycket $(z + 1/z) - (\bar{z} + 1/\bar{z}) = 0$ och manipulera detta uttryck tills dess att lösningen är uppenbar. 

SeriousCephalopod skrev:

Kan angripas på många olika sätt

Alt 1: Skriv om ekvationen på kvadratisk form mec $z = a + ib$ och välj a och b så att imaginärdelen av uttrycket $z + 1/z$ är 0.

Alt 2: Skriv om ekvationen på polär form $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ och välj argument och belopp så att imaginärdelen av uttrycket $z+1/z$ är 0.

Alt 3. Använd principen att $Im(z + 1/z) = 0$ direkt med $Im(w) = (w - \bar{w})/2 = 0$ applicerat på uttrycket $(z + 1/z) - (\bar{z} + 1/\bar{z}) = 0$ och manipulera detta uttryck tills dess att lösningen är uppenbar. 

Ok, tror jag fixade det. Jag gjorde såhär:

$$\begin{gathered} a+bi + \frac{1}{a+bi} = \frac{(a+bi)(a^2+b^2) + a - bi}{a^2+b^2} \\ = \frac{a^3 + a{b}^2+a^{2}bi+b^{3}i+a-bi}{a^2+b^2} \\ Imaginärdelen är då a^{2}bi+b^{3}i-bi \\ {a}^{2}bi+b^{3}i-bi = 0 \\ {a}^2 + b^2 = 1 \end{gathered}$$

Det sista påståendet ger då en cirkel med radie 1 och medelpunkt (0,0). Är det så man ska resonera?

Ja, det ser rätt ut. 

Fast du bör egentligen inte dividera bort b utan en kommentar utan borde ha ett mellansteg med faktorisering

$b(a^2 + b^2 - 1) = 0$

och påpekat att vi har två lösningar. Den ena motsvarande b = 0 dvs att z är reellt och att cirkeln är den andra lösningen. 

SeriousCephalopod skrev:

Ja, det ser rätt ut. 

Fast du bör egentligen inte dividera bort b utan en kommentar utan borde ha ett mellansteg med faktorisering

$b(a^2 + b^2 - 1) = 0$

och påpekat att vi har två lösningar. Den ena motsvarande b = 0 dvs att z är reellt och att cirkeln är den andra lösningen. 

Noterat! Tack för hjälpen.

Hej,

Subtrahera $w=z+\frac{1}{z}$ och dess komplexkonjugat $\bar{w} = \bar{z}+\frac{1}{\bar{z}}$ för att få differensen

$w-\bar{w}=z-\bar{z}+\frac{1}{z}-\frac{1}{\bar{z}}.$

Komplexa talet $w$ är reellt precis då

    $z-\bar{z} =\frac{z-\bar{z}}{|z|^2} \Longleftrightarrow(z-\bar{z}) \cdot (1-\frac{1}{|z|^2})=0$.

Här ser man direkt att $w$ reellt medför att $z$ är reellt (nollskiljt) eller $|z|=1$.

Knugenshögra skrev:

SeriousCephalopod skrev:

Kan angripas på många olika sätt

Alt 1: Skriv om ekvationen på kvadratisk form mec $z = a + ib$ och välj a och b så att imaginärdelen av uttrycket $z + 1/z$ är 0.

Alt 2: Skriv om ekvationen på polär form $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ och välj argument och belopp så att imaginärdelen av uttrycket $z+1/z$ är 0.

Alt 3. Använd principen att $Im(z + 1/z) = 0$ direkt med $Im(w) = (w - \bar{w})/2 = 0$ applicerat på uttrycket $(z + 1/z) - (\bar{z} + 1/\bar{z}) = 0$ och manipulera detta uttryck tills dess att lösningen är uppenbar. 

Ok, tror jag fixade det. Jag gjorde såhär:

$$\begin{gathered} a+bi + \frac{1}{a+bi} = \frac{(a+bi)(a^2+b^2) + a - bi}{a^2+b^2} \\ = \frac{a^3 + a{b}^2+a^{2}bi+b^{3}i+a-bi}{a^2+b^2} \\ Imaginärdelen är då a^{2}bi+b^{3}i-bi \\ {a}^{2}bi+b^{3}i-bi = 0 \\ {a}^2 + b^2 = 1 \end{gathered}$$

Det sista påståendet ger då en cirkel med radie 1 och medelpunkt (0,0). Är det så man ska resonera?

Nej, imaginärdelen är a²b+b³-b (utan i, alltså). Använd sedan nollproduktmetoden, b(a²+b²-1) = 0, antingen är b = 0 eller så är parentesen lika med 0.

Smaragdalena skrev:

Knugenshögra skrev:

Visa föregående citat

SeriousCephalopod skrev:

Kan angripas på många olika sätt

Alt 1: Skriv om ekvationen på kvadratisk form mec $z = a + ib$ och välj a och b så att imaginärdelen av uttrycket $z + 1/z$ är 0.

Alt 2: Skriv om ekvationen på polär form $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ och välj argument och belopp så att imaginärdelen av uttrycket $z+1/z$ är 0.

Alt 3. Använd principen att $Im(z + 1/z) = 0$ direkt med $Im(w) = (w - \bar{w})/2 = 0$ applicerat på uttrycket $(z + 1/z) - (\bar{z} + 1/\bar{z}) = 0$ och manipulera detta uttryck tills dess att lösningen är uppenbar. 

Ok, tror jag fixade det. Jag gjorde såhär:

$$\begin{gathered} a+bi + \frac{1}{a+bi} = \frac{(a+bi)(a^2+b^2) + a - bi}{a^2+b^2} \\ = \frac{a^3 + a{b}^2+a^{2}bi+b^{3}i+a-bi}{a^2+b^2} \\ Imaginärdelen är då a^{2}bi+b^{3}i-bi \\ {a}^{2}bi+b^{3}i-bi = 0 \\ {a}^2 + b^2 = 1 \end{gathered}$$

Det sista påståendet ger då en cirkel med radie 1 och medelpunkt (0,0). Är det så man ska resonera?

Nej, imaginärdelen är a²b+b³-b (utan i, alltså). Använd sedan nollproduktmetoden, b(a²+b²-1) = 0, antingen är b = 0 eller så är parentesen lika med 0.

Just det, glömmer alltid att imaginär delen är koefficienterna till i. Cephalopod påpekade också det du nämnde om nollproduktmetoden. 

Tack!

Albiki skrev:

Hej,

Subtrahera $w=z+\frac{1}{z}$ och dess komplexkonjugat $\bar{w} = \bar{z}+\frac{1}{\bar{z}}$ för att få differensen

$w-\bar{w}=z-\bar{z}+\frac{1}{z}-\frac{1}{\bar{z}}.$

Komplexa talet $w$ är reellt precis då

    $z-\bar{z} =\frac{z-\bar{z}}{|z|^2} \Longleftrightarrow(z-\bar{z}) \cdot (1-\frac{1}{|z|^2})=0$.

Här ser man direkt att $w$ reellt medför att $z$ är reellt (nollskiljt) eller $|z|=1$.

Hej,

Jag förstår inte riktigt varför w är reellt då $z-\overline{z} = \frac{z-\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}$?

Ett komplext tal w är reellt omm $w=\overline{w}$, eller hur? Vilket är samma som $w-\overline{w}=0$.

Här är w = z + 1/z = $z+\frac{\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}$,  $\overline{w}$ = $\overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}$ = $\overline{z}+\frac{z}{{\left|z\right|}^2}$

$w-\overline{w}$ = $z-\overline{z}$ - $\frac{z-\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}$ = $\left(z-\overline{z}\right)\left(1-\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\right)$ , så $w-\overline{w}$ = 0 innebär att

$\left(z-\overline{z}\right)\left(1-\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\right)$ = 0. Dvs $z-\overline{z}$ = 0 (dvs z reellt) eller $\left|z\right|$ = 1.

PATENTERAMERA skrev:

Ett komplext tal w är reellt omm $w=\overline{w}$, eller hur? Vilket är samma som $w-\overline{w}=0$.

Här är w = z + 1/z = $z+\frac{\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}$,  $\overline{w}$ = $\overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}$ = $\overline{z}+\frac{z}{{\left|z\right|}^2}$

$w-\overline{w}$ = $z-\overline{z}$ - $\frac{z-\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}$ = $\left(z-\overline{z}\right)\left(1-\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\right)$ , så $w-\overline{w}$ = 0 innebär att

$\left(z-\overline{z}\right)\left(1-\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\right)$ = 0. Dvs $z-\overline{z}$ = 0 (dvs z reellt) eller $\left|z\right|$ = 1.

Ahaa, ajaj, nu förstår jag! Tack så mycket! (: