15 svar
370 visningar
dajamanté 5139 – Fd. Medlem
Postad: 30 dec 2018 06:45

Bestäm alla linjär avbildningar

Jag vill gärna bestämma alla linjära avbildningar men jag har ingen aning om hur jag bör gå gill väga. Jag menar att alla ord känns bekant och det verkar inte svårt men ... jag vet inte vad vi  håller på med detta problem exakt.

Det känns att man måste säga att vektorer 1-10 , 011  spänner ett plan som har normalen -1-11, att eftersom nollrummet har dimension 2, då har bildrummet dimension 1, som man kan se direkt eftersom allt avbildas på en linje... Men det är som att prata om fransk politik: det är inte komplicerat, allt detta har redan inträffat tidigare och ser bekant ut men man vet inte vad vektorer håller på med och varför?

Smutstvätt 24871 – Moderator
Postad: 30 dec 2018 08:56

Vi vill undersöka vad som händer när T avbildar några basvektorer. Eftersom vi fått några redan, kan vi välja att:

u=1-10v=011

och vi kan få w från deras kryssprodukt, alltså w=-1-11. Vi undersöker att dessa är oberoende, exempelvis genom att konstatera att 1-10011-1-11=3, alltså är de oberoende. Vi kan då skriva alla vektorer i rummet som x=au+bv+cw

Eftersom vektorn w är en kryssprodukt av u och v måste w vara vinkelrät mot u och v. Vektorn cw måste då vara den vektor vi får om vi projicerar x på den linje som ges av vektorn w. Projektionsformeln ger att:

c=x·ww2=x·w3

Det innebär att Tx=a·Tu+b·Tv+c·Tw. Eftersom u och v tillhör nollrummet (enl. uppgift) måste Tu=Tv=0. Kvar blir då att Tx=d·(0, 0, 1), där d är någon reell konstant, eftersom bildrummet skulle vara en linje med riktningsvektor (0, 0, 1). 

Men vi visste också att Tx=c·Tw, dvs. Tx=x·w3·d·(0, 0, 1). Vi kan definiera en ny konstant e=d3. Då får vi, om vi applicerar T på en godtycklig vektor, att Tx=(0, 0, e(x·w))=(0, 0, -x-y+z), för någon godtycklig vektor x = (x, y, z) och någon reell konstant e.

dajamanté 5139 – Fd. Medlem
Postad: 30 dec 2018 09:05

Det är superbra analyserat, tack!

(måste göra om det imorgon, så jag markerar inte frågan som löst för att inte glömma!)

Smutstvätt 24871 – Moderator
Postad: 30 dec 2018 09:12
dajamanté skrev:

Det är superbra analyserat, tack!

(måste göra om det imorgon, så jag markerar inte frågan som löst för att inte glömma!)

Man kan lösa förvånansvärt svåra uppgifter när man skriver av facit. ;)

dajamanté 5139 – Fd. Medlem
Postad: 30 dec 2018 09:22

haha jag tittade på faciten nu, dem liknar varandra liiiite, men jag måste säga att din omanalysering är mycket klarare :p!!

(men varför ni båda verifierar att en kryssprodukt är linjärt oberoende med determinanten?)

Smutstvätt 24871 – Moderator
Postad: 30 dec 2018 09:32

Vi verifierar egentligen inte kryssprodukten, utan att u och v är oberoende. Egentligen borde det, när man fått fram en nollskild kryssprodukt, vara självklart, men så långt orkade inte jag tänka. 

dajamanté 5139 – Fd. Medlem
Postad: 31 dec 2018 09:00
Smutstvätt skrev:

Vi verifierar egentligen inte kryssprodukten, utan att u och v är oberoende. Egentligen borde det, när man fått fram en nollskild kryssprodukt, vara självklart, men så långt orkade inte jag tänka. 

 Du förstår vad jag menar. En kryssprodukt producerar en perpendikulär vektor, så är dem två första vektorer oberoende, då den hela är automatisk linjärt oberoende. Steget känns onödig, om vi kan inte återanvända determinanten.

Så vi kan se att determinanten är tre. Och skalering är 1/3. Finns det en samband?

Smutstvätt 24871 – Moderator
Postad: 31 dec 2018 09:26
dajamanté skrev:

 Du förstår vad jag menar. En kryssprodukt producerar en perpendikulär vektor, så är dem två första vektorer oberoende, då den hela är automatisk linjärt oberoende. Steget känns onödig, om vi kan inte återanvända determinanten.

Det är sant. Däremot måste det finnas en motivering till varför de två första vektorerna är oberoende, men du kan använda kryssprodukten som bevis, ja. 

Så vi kan se att determinanten är tre. Och skalering är 1/3. Finns det en samband?

Om determinanten är tre borde skalningen vara tre också. Hur har du fått fram skalningen?

dajamanté 5139 – Fd. Medlem
Postad: 1 jan 2019 18:40

Det står i texten att dom 2 första vektorer oberoende.

Du får fram att c= d*1/3, så det var den jag menade :)

Smutstvätt 24871 – Moderator
Postad: 1 jan 2019 18:46

Jag läste slarvigt, haha. Det behövs nog ingen motivering då. 

Aha, jag vet inte. Det är inte omöjligt. 

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 1 jan 2019 19:15

Låt den linjära avbildningen representeras av 3×33\times 3-matrisen AA. Låt kolonnvektorerna v1=(1,-1,0)Tv_1 = (1,-1,0)^{T} och v2=(0,1,1)Tv_2=(0,1,1)^{T} och e0=(0,0,1)Te_0 = (0,0,1)^{T}.

  • Villkor a) säger att Ax=0x=c1v1+c2v2Ax=0 \iff x=c_1v_1+c_2v_2
  • Villkor b) säger att Ax=t(x)e0Ax=t(x)e_0 för alla vektorer x3x\in \mathbb{R}^3 , där t(x)t(x) är reella tal.
dajamanté 5139 – Fd. Medlem
Postad: 2 jan 2019 06:52

hmmm? Mer?

oggih 1284 – F.d. Moderator
Postad: 3 jan 2019 21:04 Redigerad: 3 jan 2019 21:28

Några tips:

  • Steg 1 när man ställs inför ett matematiskt problem är att analysera de grundläggande orden som dyker upp i probelmet. Vad betyder "nollrum"? Vad betyder "bildrum"? Skriv gärna ner definitionerna tydligt på ett papper, så att det blir så konkret som möjligt för dig själv vad det är du ska göra. 
  • Om du inte vet hur du ska göra för att hitta alla matriser som uppfyller de givna egenskaperna, så kan du kanske hitta en matris som gör det? Eller kanske hitta några matriser som inte uppfyller någon/några av egenskaperna? Att leka runt med konkreta exempel är ofta en bra början!

Här kommer mitt lösningsförslag. Det skiljer sig lite från vad Smutstvätt och Albiki har föreslagit, men jag tänker att det är bra att se att det finns flera olika sätt att resonera. Jag har bara skrivit ner de huvudsakliga stegen, men hoppas att du kan fylla i luckorna själv. Om något känns förvirrande så hjälper jag/någon annan dig så klart gärna vidare!

dajamanté 5139 – Fd. Medlem
Postad: 4 jan 2019 06:21 Redigerad: 4 jan 2019 06:25

Oh my.

Tack för att du skrev det.

Jag råkade föreställa mig saken såhär:

00-α00-α00α

Har du en idé om förhållandet mellan determinanten och avbildningen? Är det för att det är en vektor av tre som avbildats att vi får 13 ?

Jag har en (kanske!) sista fråga angående Smutstvätts stiligt tolkning av faciten. När dem ger projektionsformel skriver dem:

c=x·ww2=x·w3

varför inte 

c=x·ww2w=x·w3w

Smutstvätt 24871 – Moderator
Postad: 4 jan 2019 08:08
dajamanté skrev:

 

c=x·ww2=x·w3

varför inte 

c=x·ww2w=x·w3w

Eftersom c är en konstant! 

dajamanté 5139 – Fd. Medlem
Postad: 4 jan 2019 08:13

Ah just det, och det är c som multiplicerar w.

Jag har ingen ursäkt, jag är tillbaka i Sverige och får mina morgon kaffe.

Svara
Close