Bestäm alla punkter på funktionsytan z=x^2+4y^2 (J.Månsson 4.6)

Kan det vara fel med funktionsytans normalvektor?

Om man har en funktionsyta $z=f(x,y)$

är normalvektorn $\left(-f_x^{\text{'}}, -f_y^{\text{'}}, 1\right)$

Notera att din normalekvation endast ger dig värden på x och y. Du sätter z = k = -1. Men du har inget fog för detta. Gå tillbaka till ekvationen för funktionsytan och räkna ut z-värdet svarande mot de värden på x och y som du tagit fram.

@MaKe / PANTENTERAMERA

Humm, men borde inte gradienten av f bli normalvektorn för f? $Grad f=(2x,8y,-1) då f: z=x^2+4y^2$

I punkten $\left(x, y, f(x,y)\right)$ är normalvektorn

$\frac{\partial \left(x, y, f(x,y)\right)}{\partial x}\times \frac{\partial \left(x, y, f(x,y)\right)}{\partial y}=\left(1, 0, f_x^{\text{'}}\right) \times \left(0, 1, f_y^{\text{'}}\right) = \left(-f_x^{\text{'}}, -f_y^{\text{'}}, 1\right)$.

Finns en enklare metod i det här fallet: 

MaKe skrev:

I punkten $\left(x, y, f(x,y)\right)$ är normalvektorn

$\frac{\partial \left(x, y, f(x,y)\right)}{\partial x}\times \frac{\partial \left(x, y, f(x,y)\right)}{\partial y}=\left(1, 0, f_x^{\text{'}}\right) \times \left(0, 1, f_y^{\text{'}}\right) = \left(-f_x^{\text{'}}, -f_y^{\text{'}}, 1\right)$.

Hummmm..... Har hittat sidan i boken som är det jag tänker på:

Den ger lite annat svar (eller fel riktning)...

Darth Vader skrev:

Finns en enklare metod i det här fallet: 

Visa spoiler

Alla plan parallella med $x+y+z=0$ är på formen $x+y+z=k$, där $k$ är ett godtyckligt reellt tal. Så man vill finna det $k$ så att ekvationssystemet $x+y+z=k$, $z=x^2+4y^2$ har en unik lösning. Men 

$k=x+y+z=x+y+x^2+4y^2 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(2y+\frac{1}{4}\right)^2 -\frac{5}{16}.$

Så $k=-5/16$ ger den unika lösningen $x=-1/2$, $y=-1/8$.

Intressant tilltägg men är inte riktigt med på $k=x+y+z=x+y+x^2+4y^2={(x+\frac{1}{2})}^2+{(2y+\frac{1}{4})}^2-\frac{5}{16}$

Det verkar att du blandar ihop funktionsytor $z = f(x,y)$ och nivåytor $f(x,y,z) = \mathrm{en\ konstant}$.

Notera också att en normalvektor inte är given entydigt. Har man en normalvektor, så kan den multipliceras med ett nollskilt tal och så får man en annan normalvektor.

I inlägget #4 skriver du att grad f är normalvektorn då $f: z=x^2 + 4y^2$. Det stämmer inte riktigt:

• För det första ska $f$ vara en funktion om "$grad f$" ska vara meningsfullt. Du har angett att $f$ är en ekvation, vilket innebär att $grad f$ är ett odefinierat objekt. Om du skriver om ekvationen till $x^2 + 4y^2 - z = 0$, så kan du definiera funktionen $f(x,y,z) = x^2 + 4y^2 - z$ för att beskriva ytan som en nivåyta $f(x,y,z)=0$. Med en sådan funktion $f$ är $grad f$ meningsfull och då blir $grad f = (2x, 8y, -1)$ verkligen en normalvektor till tangentplanet.
• För det andra är grad f inte normalvektorn utan bara en av möjliga normalvektorerna.

Som PATENTERAMERA skrivit i inlägget #3, så har du felaktigt satt z=-1. I ekvationssystemet

ser man bara att $k=-1$, $x = -1/2$ och $y = -1/8$. (Lägg märke till minustecken för $x$ och $y$). Detta ekvationssystem säger absolut ingenting om vad $z$ skall vara. Värdet på $z$ bestäms utifrån ytans ekvation $z = x^2 + 4y^2$ genom att sätta in de funna värdena på $x$ och $y$. Dessa blir koordinaterna för tangeringspunkten.

När du hittat tangeringspunkten, så kan du ta fram tangentplanetsekvation på normalform:

$1\cdot(x+1/2) + 1 \cdot (y + 1/8) + 1 \cdot (z - z_t) = 0$

där ettorna framför varje av parenteserna kommer från $n=(1 , 1, 1)$ och $z_t$ är tangeringspunktens $z$-koordinat som du får beräkna enligt stycket ovan.

Alternativ lösning:

Om du betraktar ekvationen $z = x^2 + 4y^2$ som en funktionsyta $z = g(x,y)$, där $g(x,y) = x^2 + 4y^2$, så får du att $(g'_x, g'_y, -1)$ är en normalvektor. Ur ekvationssystemet som tidigare får du att $x=-1/2$, $y=-1/8$ är $x$- och $y$-koordinaterna för tangeringspunkten. Då kan tangentplanet skrivas på formen av "förstaordningens taylorutveckling":

$z - g(\frac{-1}{2}, \frac{-1}{8}) = g'_x(\frac{-1}{2}, \frac{-1}{8}) (x + \frac{1}{2}) + g'_y(\frac{-1}{2}, \frac{-1}{8}) (y + \frac{1}{8})$

Wow! Tack för den utförliga förklaringen! Är nu dock inte riktigt med på hur jag ska få fram värdena på x,y för att stoppa in dem i $z=x^2+4y^2$ blir det ett ekv. med endast $g{\text{'}}_x och g{\text{'}}_y$?

Om planets normal $(1,1,1)$ ska vara parallell med normalen till ytan ska alltså

$k(1,1,1)=(-g^\prime_x,-g^\prime_y,1)$

där $g(x,y)=x^2+4y^2$

Normaler till planet $x+y+z=0$ ges av $k(1,1,1)$ för olika värden på $k$. På det sättet behöver vi inte bry oss om "längden" på normalen.

Uttrycket $k(1,1,1)=(-g^\prime_x,-g^\prime_y,1)$ är ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre okända, $x,y$ och $k$

Det har lösningarna $x=-\frac12$, $y=-\frac18$ samt $k=1$.

Du satte nästan upp det korrekta ekvationssystemet i ditt första inlägg, enda problemet var att du blandade in $z$.

$z$-koordinaten för tangeringspunkten ges slutligen av $z=x^2+4y^2=(-\frac12)^2+4(-\frac18)^2$

Humm, har lite svårt att greppa z-koordinaten eller i alla fall härledning utav den har det med följande att göra?

(Försöker att koppla det till vad som sägs i boken, men får kanske ge upp på det hahaha)

ChocolateTerrain skrev:

Humm, har lite svårt att greppa z-koordinaten eller i alla fall härledning utav den har det med följande att göra?

(Försöker att koppla det till vad som sägs i boken, men får kanske ge upp på det hahaha)

Detta är ju exakt det jag skrivit i slutet av den alternativa lösningen i inlägget #9 (fast jag kallade funktionen för g):

Bokstäverna $a$ och $b$ i formeln (4.3) i boken representerar $x$- och $y$-koordinaterna av tangeringspunkten, så i denna konkreta uppgift är $a=-1/2$ och $b=-1/8$ eftersom det är just i denna punkt som normalvektorn till ytan, d.v.s. $(g'_x(a,b), g'_y(a,b), -1)$, är parallell med normalvektorn till det givna planet, d.v.s. $n = (1,1,1)$.

Värdet av $g(a,b)$ anger då $z$-koordinaten av tangeringspunkten på ytan $z=g(x,y)$ då $x=a$ och $y=b$.

Ahhh! Tack!

Här kommer en alternativ lösning:

Går däremot emot #3 men övningsledaren gav rätt för att k=-1.