Bestäm alla reella x sådana att arctanx + arctan((1-x)/(1+x))≠pi/4

Fundera på vad som händer om x är ett stort negativt tal.

Svar #1 Hej Krishna,

Din algebraiska förenkling fram till = 1 är 100 % korrekt. Det är precis det som behövs för att göra klart uppgiften. 

Så här ska du slutföra uppgiften där du stannade:

Eftersom du har visat att (a+b)= 1 och vi vet att vinkeln (a+b) måste ligga i intervallet ($-\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }$) finns det två möjliga vinklar där tangens blir 1 :

1- a+b = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

2- a+b = - $\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

Sedan letar vi efter de X som gör att summan istället blir $-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$ (eller där uttrycket inte är definierat) Eftersom uppgiften ber oss hitta alla X där uttrycket inte är lika med $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

Om x testar vi x= 0 i ditt ursprungliga uttryck får vi a= arctan (0)= 0 och                        b = arctan ($\frac{1-0}{1+0})= arc\tan (1)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$==> Summa a+b = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$för alla x$>-1$är uttrycket = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

Om x $< -1$testar vi x= -2 vilket gör att summan istället a+b = $-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$vinklarna byter kvadrant $-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\ne \frac{\mathrm{\pi }}{4}$olikheten stämmer!

Om x= -1 (Division med noll) uttrycket är odefinierat dvs att det inte lika med $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

Ditt sista steg blir att skriva att olikheten gäller för alla x$\le -1$. Det är intervallen kring X= -1 som avgör om summan blir $\frac{\mathrm{\pi }}{4} eller -\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$.

Lycka till med matte studierna!

cechak skrev:

Svar #1 Hej Krishna,

Din algebraiska förenkling fram till = 1 är 100 % korrekt. Det är precis det som behövs för att göra klart uppgiften. 

Så här ska du slutföra uppgiften där du stannade:

Eftersom du har visat att (a+b)= 1 och vi vet att vinkeln (a+b) måste ligga i intervallet ($-\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }$) finns det två möjliga vinklar där tangens blir 1 :

1- a+b = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

2- a+b = - $\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

Sedan letar vi efter de X som gör att summan istället blir $-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$ (eller där uttrycket inte är definierat) Eftersom uppgiften ber oss hitta alla X där uttrycket inte är lika med $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

Om x testar vi x= 0 i ditt ursprungliga uttryck får vi a= arctan (0)= 0 och                        b = arctan ($\frac{1-0}{1+0})= arc\tan (1)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$==> Summa a+b = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$för alla x$>-1$är uttrycket = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

Om x $< -1$testar vi x= -2 vilket gör att summan istället a+b = $-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$vinklarna byter kvadrant $-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\ne \frac{\mathrm{\pi }}{4}$olikheten stämmer!

Om x= -1 (Division med noll) uttrycket är odefinierat dvs att det inte lika med $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

Ditt sista steg blir att skriva att olikheten gäller för alla x$\le -1$. Det är intervallen kring X= -1 som avgör om summan blir $\frac{\mathrm{\pi }}{4} eller -\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$.

Lycka till med matte studierna!

Ett steg som jag inte hänger med på: Hur vet du att a+b = pi/4 för alla x>-1 även om bara testar med x=0? Jag förstår inte hur alla x större än 0 också uppfyller sambandet a+b=pi/4.

Svar # 4

Det är en mycket logisk fråga. Det räcker att testa ett enda tal.

Vi bevisade ju att tan (a+b) = 1. Det betyder att summan (a+b) bara kan vara fasta värden som $\frac{\mathrm{\pi }}{4},-\frac{3\mathrm{\pi }}{4},\frac{5\mathrm{\pi }}{4}$osv... Den kan inte bli något tal däremellan (som t.ex. 0 eller 1). 

Eftersom summan är helt konstant (en rak linje) för alla $x>-1$, så räcker det att vi tar reda på värdet för ett enda tal (som x= 0) för att veta att det gäller för precis alla tal i det intervallet. 

Du kan rita grafen med funktionen som motsvarar vänsterledet i din ursprungliga uppgift.$f\left(x\right)= arc\tan \left(x\right) +árc\tan \frac{1-x}{1+x}$ kommer du att se att grafen är sammanhängande för alla tal där x $>-1$helt slät och har inga avbrött.

Undrar du något mer är du välkommen tillbaka.

Hoppas att du förstår!