Bestäm alla värden på a så att mängden spänner upp ett eller flera plan i R3

Hej! Jag vet inte om jag råkade ta bort en kommentar för jag läste en, sedan skulle jag kolla mina uträkningar igen och när jag kollade tillbaka så ser jag inte längre kommentaren? Skulle du kunna skriva igen?

Om två vektorer ej är linjärt oberoende är vektorerna linjärt beroende.

Om två vektorer är linjärt beroende är den ena samma som den andra gånger en skalär, typ u = k*v.

Vad de gjorde var att de bara tittade på de två vektorerna, konstaterade att den ena inte var den andra gånger en skalär, och därmed att de var linjärt oberoende.

Varför de använde sig av u och v och inte w är ganska godtyckligt. Så länge två individuella vektorer inte är linjärt beroende är valet godtyckligt. Man kan även lösa uppgiften genom att använda sig av u och w respektive genom att använda sig av v och w. Pröva gärna och se vad som händer.

Mer specifikt: för a=-1 får vi att w-u=v, så om vi försöker röra oss i hela det tredimensionella rummet bara genom att röra oss i vektorernas riktning så har vi en vektor som kan betraktas som en linjärkombination av de andra, vilket gör att de tre befinner sig i ett tvådimensionellt plan så vi kan aldrig lämna planet. Att prata om "vilka" som är de linjärt oberoende är godtyckligt eftersom man kan säga att vi har vektorerna u och v, men w tillför inget ty w=1*u+1*v, eller kan man säga att vi har vektorerna u och w men v tillför inget ty v=1*w+(-1)*u, eller så kan man säga att vi har vektorerna v och w men u tillför inget ty u=1*w+(-1)*v. En av vektorerna är en linjärkombination av övriga är nyckelbiten.

Okej tack för svar! Jag testade ta kryssprodukten av u$\times$v och fick ett annat plan: (2-a^2)x -ay + (a^2-4)z = 0.

Jag såg tidigare en kommentar som sade att man kan lösa detta utan att använda kryssprodukten men genom att använda determinanten för A istället. Hur ska man göra om man skulle vilja använda sig av den metoden istället?

Om de tre vektorerna är linjärt oberoende så måste de spänna upp en volym i det tredimensionella rummet. Tar man determinanten på matrisen som består av vektorerna får man denna volym. Man lär då få ett uttryck där a ingår, och om man sätter att volymen skall bli noll så får man ett uttryck man kan lösa för a som ger när som volymen blir 0, dvs. när som de tre vektorerna ligger i ett plan. (eller linje eller punkt)

Om vi tittar på din alternativa kryssprodukt specifikt då a=-1:

(2-a^2)x -ay + (a^2-4)z = (2-(-1)^2)x -(-1)y + ((-1)^2-4)z = (2-1)x+1y+(1-4)z= (1)x+(1)y+(-3)z=0

så är det som du säger ett annat plan än facit. Det borde dock bli samma som facit, och eftersom det är ganska nära så tror jag att du räknat lite fel vid faktorn framför y-termen.

Ah okej så man bara använder resultatet från beräkningen av determinanten och sätter denna till noll. Vad ska man göra sedan med denna skalär? 

Ja det är sant tack! Det ska stå +ay

Om du hittat de värden på a som gör att determinanten blir 0 så har du hittat de värden på a som gör att vektorerna är linjärt beroende. Sätt in vektorerna för att få reda på vilka vektorer det är frågan om.

För att få planet som spänns upp av vektorerna kan du t.ex. ta kryssprodukten mellan två av dina nu funna vektorer.

Okej tack!