5 svar
251 visningar
lamayo behöver inte mer hjälp
lamayo 2570
Postad: 5 nov 2021 15:15

Bestäm alla x

Bestäm alla heltal x som uppfyller kongruensekvationen 5x-10=30 (mod 7).

Jag har gjort 5x-10=7t+2

5x=7t+12=7k+5

x=(7/5)k+1

Men hur kommer jag vidare? Fattar att det inte får vara femtedel framför k:et. Enligt facit är svaret x=7k+1.

Tacksam för hjälp!

Groblix 405
Postad: 5 nov 2021 15:46 Redigerad: 5 nov 2021 15:50

Det är samma sak, men det är heltalen de är ute efter. Du kan sätta k=5 i x=(7/5)k+1, då får du att x=7s+1 där s är ett heltal. 

För att hitta alla heltal måste (7/5)k bli ett heltal, alltså blir s "värde" 5st sju femtedelars k.

I facit använder de k istället för s.

lamayo 2570
Postad: 5 nov 2021 15:54
Groblix skrev:

Det är samma sak, men det är heltalen de är ute efter. Du kan sätta k=5 i x=(7/5)k+1, då får du att x=7s+1 där s är ett heltal. 

För att hitta alla heltal måste (7/5)k bli ett heltal, alltså blir s "värde" 5st sju femtedelars k.

I facit använder de k istället för s.

tack! :D

MathematicsDEF 312
Postad: 5 nov 2021 16:24 Redigerad: 5 nov 2021 16:30

Det finns olika sätt att lösa moulära ekvationer. Egentligen så bör man först bestämma om det ens existerar någon lösning innan vi börjar, och det gör man genom att titta på gcd(5,7). Eftersom att båda siffrorna är primtal så blir gcd(5,7) helt enkelt 1 och 1 delar 30, så detta innebär att det finns en lösning (samt att vi kan dividera båda ledena utan problem).

Vi har 5x-1030 mod(7)  . Vi kan addera 10 på båda ledena vilket ger: 5x=40 mod(7). Vi ser att 5 och 40 är delbart med 5 så vi kan lika gärna dela med det, för målet är ju att isolera x. Så vi får x=8 mod(7) , vi är ute efter den minsta lösningen som i det här fallet ska vara < 7 så vi kan helt enkelt subtrahera bort en sjua (på samma sätt som när man adderar/subtraherar 2π från sinus/cosinusperioden och får samma lösning) och då får vi x=1 mod(7) vilket är lösningen. Detta är samma sak som att säga x=1+7k där k är något heltal. Så x kan vara {1, 8, 15, 22, 29, 36...}samt de negativa lösningarna.

Laguna 29885
Postad: 5 nov 2021 16:34

Om man inför begreppet invers för modulo, dvs. ett tal x sådant att xy = 1 (modulo n) kallas inversen till y, så blir det lätt att räkna. Inversen finns inte alltid, om gcd(y, n) > 1. Här så är inversen till 5 3, för att 3*5 = 15 = 2*7+1. Då kan man multiplicera allt med 3 i stället för att dela med 5.

En annan gång kanske inte allting går att dela med 5.

lamayo 2570
Postad: 5 nov 2021 17:47

Tack för förklaringarna :D

Svara
Close