Bestäm antalet lösningar för varje reellt a (Absolutbelopp)

Rita grafen för uttrycket i vänsterledet.

Den horisontella linje som motsvarar y = a skär nu grafen du har ritat på 0, 1 eller flera ställen beroende på värdet på a (hur högt den horisontella linjen ligger).

Svaret kommer att bli typ:

För a > någonting så har ekvationen ... lösningar.

För någonting <= a <= någonting annat så har ekvationen ... lösningar.

Och så vidare.

Och så har det smugit sig in två små fel när du delade in vänsterledets uttryck i intervaller.

Kontrollera uttrycket för |x-1| då x  < 1 och uttrycket för |x-3| då x  < 3, de är inte korrekta.

Hej!

Uttrycket  $|x-a|$ betecknar avståndet mellan talen $x$ och $a$. Din ekvation kan skrivas på följande form.

    $\displaystyle (|x-0|+|x-3|) + (|x-0|-|x-1|) = 2a.$

Om talet $x$ ligger mellan $1$ och $3$ så är summan $|x-0|+|x-3|$ alltid lika med 3 (Rita en tallinje för att se detta!) och differensen $|x-0|-|x-1|$ är alltid lika med 1 (Rita en tallinje för att se detta!). Det betyder att ekvationen är samma sak som ekvationen $4 = 2a$.

Om $a=2$ så kommer ekvationen $|x|-\frac{1}{2}|x-1|+\frac{1}{2}|x-3| = a$ att vara uppfylld för oändligt många tal ($x$); mer specifikt för alla tal i intervallet $[1,3]$.

Albiki

Hej!

Om $a\neq 2$ så kommer ekvationen inte att ha någon lösning i intervallet $[1,3]$; det kanske finns lösningar i intervallet $(-\infty,1)\cup(3,\infty)$, så detta fall är intressant att undersöka.

Albiki

Hej!

Om talet $x$ ligger i intervallet $(-\infty,0)$ så är $|x-0|+|x-3|\geq 3$ och $|x-0|-|x-1| = -1$, vilket ger olikheten $2a \geq 2$. Detta visar att om talet $a$ är strikt mindre än $1$ så finns det inga lösningar i intervallet $(-\infty,0)$.

Om talet x ligger i intervallet $(3,\infty)$ så är $|x-0|+|x-3|\geq 3$ och $|x-0|-|x-1| = 1$, vilket ger olikheten $2a \geq 4$. Detta visar att om talet $a$ är strikt mindre än $2$ så finns det inga lösningar i intervallet $(3,\infty)$.

Albiki

Om du vill lösa problemet algebraiskt är Albikis metod att föredra. Om du istället föredrar en grafisk lösning kan du fortsätta på mitt första förslag:

Höjden på den vågräta linjen motsvarar talet a. Två exempel:

• För a = 3 (röd linje) finns två lösningar.
• För a = 0,5 (grön linje) finns 0 lösningar.

Vilka andra alternativ finns det?

Hej!

Med en grafisk metod får man följande resultat.

    $\displaystyle \begin{matrix} a & \vert & (-\infty,0) & [0,1) & [1,3) & [3,\infty)\\\hline (2,\infty) & \vert & 1 & 0 & 0 & 1\\ \{2\} & \vert & 1 & 0 & \infty & 0\\(1,2) & \vert & 1 &1 & 0 & 0\\(-\infty,1) & \vert & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}$

Albiki

Hej!

Då $a = 1$ finns det en enda lösning och den ligger i intervallet $[0,1)$; lösningen är $x=0$.

Albiki

Tack så hemskt mycket för svaren!

Så för att klargöra en sak bara, frågan ber om antalet lösningar också. Ekvationen har alltså 2 lösningar för varje reellt tal a och dessa är a=1 och a=2?

CarlHolm skrev :

Tack så hemskt mycket för svaren!

Så för att klargöra en sak bara, frågan ber om antalet lösningar också. Ekvationen har alltså 2 lösningar för varje reellt tal a och dessa är a=1 och a=2?

Nej inte "också".

Uppgiften består endast i att ange antalet lösningar för varje reellt värde på a.

Frågan gäller hur många (reella) lösningar ekvationen |x| - 1/2*|x-1| + 1/2*|x-3| = a har.

Titta på min bild igen.

Den blåa grafen visar vänsterledets utseende, dvs f(x) = |x| - 1/2*|x-1| + 1/2*|x-3|.

Den röda och den gröna grafen visar högerledets utseende, vid två värden på a, dels g(x) = 3 (då a = 3), dels h(x) = 0,5 (då a = 0,5).

Vi kan grafiskt representera frågan som "Hur många gånger har en horisontell linje på höjd a samma y-värde som den blåa grafen".

Om den horisontella linjen (röd linje i bilden) ligger högre upp än y = 2, så skär den linjen den blå grafen på 2 ställen.

• För a > 2 så finns det alltså 2 lösningar till ekvationen

Så är fallet ända ner till a = 2, då den röda linjen skär den blå på ett ställe (till vänster om y-axeln) och sammanfaller med den blå linjen mellan (och inklusive) x = 1 och x = 3.

• Då a = 2 så finns det alltså oändligt många lösningar till ekvationen eftersom det finns oändligt många punkter på den sträcka där graferna sammanfaller.

Om du nu fortsätter att minska värdet på a ytterligare (mindre än 2 men större än 1) så kommer den röda linjen att återigen skära den blå grafen på exakt 2 ställen.

• Då 1 < a < 2 så finns det alltså 2 lösningar till ekvationen.

Vid a = 1 så sammanfaller graferna i en enda punkt.

• Då a = 1 så finns det alltså 1 lösning till ekvationen

Om du nu fortsätter att minska värdet på a ytterligare, så att a < 1, så kommer den röda linjen inte att skära den blå grafen alls.

• Då a < 1 så finns det alltså inga lösningar till ekvationen

Hängde du med?

Det är viktigt att du förstår detta, annars ger vårt svar på uppgiften ingen hjälp till dig.

Jaha! Okej, nu förstår jag helt och hållet! Tänkt på fel sätt, tolkade uppgiften på annat vis. Men nu vet jag, tack så mycket!

CarlHolm skrev :

Jaha! Okej, nu förstår jag helt och hållet! Tänkt på fel sätt, tolkade uppgiften på annat vis. Men nu vet jag, tack så mycket!

OK bra, då förstår du både Albikis och mitt lösningsförslag?

Ja, löste det algebraiskt men testade det grafiska också, då det känns bra att se framför sig vad det är man faktiskt räknar på :)

CarlHolm skrev :

Ja, löste det algebraiskt men testade det grafiska också, då det känns bra att se framför sig vad det är man faktiskt räknar på :)

Bra att pröva båda metoderna för att se vilken som passar dig bäst.

En del föredrar algebraiska lösningar, andra grafiska.