Bestäm arean av det område som begränsas av kurvan y=2e^0,5x

Hur jag uppfattar är att jag ska hitta arean mellan två kurvor, y=2e^(0,5x) och tangenten till samma kurva vid x=2, och mellan y-axeln. 

Först vill jag hitta tangenten till funktionen där x=2. Detta hittar jag genom att först derivera f(x)

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=2e^{0,5x} \\ f\text{'}\left(x\right)=2·0,5e^{0,5x} \\ f\text{'}\left(x\right)=e^{0,5x} \end{gathered}$$

sen vill jag hitta tangenten där x=2, så

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(2\right)=e^{0,5\left(2\right)} \\ f\text{'}\left(2\right)=e^1 \\ f\text{'}\left(2\right)=e \end{gathered}$$

 

Vi vill alltså hitta arean mellan graferna $y=2e^{0,5x}$och $y=ex$

mellan x=0 (y-axeln) och x=2.

 

Integralen blir alltså:

$$\begin{gathered} {\int }_0^2\left(\right(2e^{0,5x})-(ex\left)\right)dx= \\ {[4e^{0,5x}-e]}_0^2=(4e^{0,5\left(2\right)}-e)-(4e^{0,5\left(0\right)}-e)= \\ 4e^1-\cancel{e}-4e^0+\cancel{e}= \\ 4e-4\left(1\right)= \\ 4e-4 \end{gathered}$$

 

Har jag gjort rätt här? Boken ger mig liknande alternativ, men inte exakt detta. Har jag gjort något slarv fel någonstans kanske?