Bestäm avståndet från origo till den punkt på kurvan

Känns smidigast att använda Lagranges metod. Du vill minimera avståndet till origo (eller avståndet i kvadrat x^2 + y^2) med bivillkor g(x,y) = 0.

Känns det bekant? Har själv glömt det mesta om det... 

Jag tror inte Lagranges metod är rätt väg att gå här.
det fungerar nog bra om jag har ett bivillkor men det har jag inte i detta fall. om jag har g(x,y)=0 som bivillkor så blir det väl bara vanlig derivering?

Du vill minimera f(x, y) = x^2 + y^2 givet att man är på kurvan g(x, y) = 0, så Lagrange funkar. Gradienterna av f och g ska vara parallella. 

Annars borde det gå att skriva kurvan på polär form och lösa ut r (eller r^3) som funktion av vinkeln och sedan derivera. 

Lagrange funkar bra men ännu enklare är att övergå till polära. Då uttrycker kurvan r som funktion av fi och det är just r som ska maximeras och minimeras.

Jag tyckte nog att det blev smidigare med Lagrange här. Trådskaparen råds att prova båda metoderna!

Hej!

Det kvadratiska avståndet mellan origo $(0,0)$ och en punkt $(x,y)$ på kurvan är lika med funktionen

    $\displaystyle f(x,y) = (x-0)^2+(y-0)^2 = x^2+y^2.$

Att minimera det kvadratiska avståndet är samma sak som att minimera det sökta avståndet.

Problemet handlar alltså om att minimera funktionen $f(x,y)$ under bivillkoret att punkten $(x,y)$ ligger på kurvan vars ekvation är $2x^3+3xy^2+y^3=6.$ Med hjälp av Kuberingsregeln kan du skriva

    $\displaystyle (x-y)^3 = x^3-3xy^2+3xy^2-y^3 = (x^3+3xy^2+y^3) - (3yx^2+2y^3)$

vilket gör att  bivillkoret kan skrivas

    $\displaystyle 2y^3 + 3yx^2 + (x-y)^3 = 6\ .$

Detta visar att om punkten $(x,y)$ ligger på kurvan så ligger punkten $(y,x-y)$ också på kurvan, vilket medför att punkten $(x-y,2y-x)$ ligger på kurvan, vilket medför att punkten $(2y-x,2x-3y)$ ligger på kurvan, vilket medför att... (och vice versa). Det vore snyggt om denna symmetri kunde användas för att lösa uppgiften, så att det inte blir ett rutinmässigt minimeringsproblem med bivillkor.

Albiki

Men inget kan väl vara enklare än att ta min och max av 6/r^3=2cos^3v + 3cos v sin^2v + sin^3 v.

Derivatan blir 3sin v(cos v - sin v)=0.