Bestäm beloppet av den absoluta hastighet då partikeln lämnar röret. (Fysik/Universitet)

Röret kan inte påverka partikeln med någon kraft i radiell led (den glider friktionsfritt). Du kan hitta ett uttryck för hur partikeln rör sig i radiell led $r(t)$ genom att ställa upp Newtons andra lag och lösa differentialekvationen som uppstår. Använd uttrycken för accelerationen i polära koordinater eller vad ni nu lärt er för att hantera roterande koordinatsystem.

Normalkraften från röret på partikeln tillför den energi, därför kan du inte bara tillämpa $T_{start}=T_{slut}$ , du måste också beakta energitillskottet.

Ett spännande lösningsalternativ till den här uppgiften är att visa att förändringen i rörelseenergi hos partikeln motsvarar den tillförda effekten till systemet.

D4NIEL skrev:
Röret kan inte påverka partikeln med någon kraft i radiell led (den glider friktionsfritt). Du kan hitta ett uttryck för hur partikeln rör sig i radiell led $r(t)$ genom att ställa upp Newtons andra lag och lösa differentialekvationen som uppstår. Använd uttrycken för accelerationen i polära koordinater eller vad ni nu lärt er för att hantera roterande koordinatsystem.

Normalkraften från röret på partikeln tillför den energi, därför kan du inte bara tillämpa $T_{start}=T_{slut}$ , du måste också beakta energitillskottet.

Ett spännande lösningsalternativ till den här uppgiften är att visa att förändringen i rörelseenergi hos partikeln motsvarar den tillförda effekten till systemet.

Man kan antingen använda sig av cylinderkoordinater eller naturliga koordinater. Jag kan tänka mig att partikeln kommer påverkas av en acceleration i tangiellriktning åt höger och acceleration i normalriktning. Gällande krafter är det väl bara mg ,dess komposanter och normalkraften?

Jag kan hjälpa dig, men behöver facit så att jag inte är helt ute och seglar.

MrPotatohead skrev:
Jag kan hjälpa dig, men behöver facit så att jag inte är helt ute och seglar.

Åh tack! Ja jag satt och försökte förstå lösningsförslaget precis innan du skrev haha! Här är den.

1) I (8) ser det ut som att de använder cylinderkoordinater för uttrycka accelerationen i radiell led. Hade man använt sig av kartesiska koordinader också?

2) i (9) gör de någon kedjeregeln som jag inte vet hur de kom fram till drprick/dr×rprick. Kan det vara så att de uttryckte rprickprick mha kedjeregeln?

3) i steget efter (11) kommer de fram till att rprick^2=3w^2l^2/4. Jag förstår inte hur de kom fram till det.

4) i steg (12) så skriver de v som roten ur uttrycken och jag förstår inte riktigt det som är under roten ur.

Bra, det blev rätt.

Vi väljer att använda polära koordinater vars hastighet och acceleration kan skrivas:

Härifrån identifierar vi att det är $\dot{r}$ som behövs. Och för att få $\dot{r}$ behövs $\ddot{r}$ för då får vi en diffekvation som vi kan lösa med det fina knepet $a ds = v dv$ (det är också det lösningsförslaget gör). Men först behöver vi ett uttryck för $\ddot{r}$ . Det är kanske inte helt självklart men eftersom det inte verkar någon kraft i $\hat{r}$ -led kommer $\ddot{r}=r\omega ^2$ (centripetalaccelerationen). (Detta får någon annan gärna förklara vidare. Det skaver i huvudet att den totala radiella accelerationen blir 0 när den accelererar utåt. ) Därefter är det iaf att använda knepet ihop med begynnelsevillkoren så är uppgiften klar.

MrPotatohead skrev:
Bra, det blev rätt.

Vi väljer att använda polära koordinater vars hastighet och acceleration kan skrivas:

Härifrån identifierar vi att det är $\dot{r}$ som behövs. Och för att få $\dot{r}$ behövs $\ddot{r}$ för då får vi en diffekvation som vi kan lösa med det fina knepet $a ds = v dv$ (det är också det lösningsförslaget gör). Men först behöver vi ett uttryck för $\ddot{r}$ . Det är kanske inte helt självklart men eftersom det inte verkar någon kraft i $\hat{r}$ -led kommer $\ddot{r}=r\omega ^2$ (centripetalaccelerationen). (Detta får någon annan gärna förklara vidare. Det skaver i huvudet att den totala radiella accelerationen blir 0 när den accelererar utåt. ) Därefter är det iaf att använda knepet ihop med begynnelsevillkoren så är uppgiften klar.

Yes. Jag var tvungen att bläddra igenom litteraturen lite och hittade precis det de använde sig av lösningen. Jag är dock lite nyfiken över varför de inte tog med den transversella riktningen för accelerationen? Sen undrar jag hur man vet att det här är problemet är en cylinderkoordinater problem och tex inte kartesiska koordinater?

På slutet av lösningen så använder beloppet av v för att få fram v då och eftersom rörelsen sker i e_r och e_theta så är det rprick och rthetaprick som beskriver v_r och v_theta som är intressanta för att få beloppet.

destiny99 skrev:
Jag är dock lite nyfiken över varför de inte tog med den transversella riktningen för accelerationen? Sen undrar jag hur man vet att det här är problemet är en cylinderkoordinater problem och tex inte kartesiska koordinater

Att välja koordinatsystem så att lösningen blir så enkel som möjligt är lite av en konstform och något man lär sig genom erfarenhet. Grundregeln är att om något snurrar runt en fast axel är polära (eller cylindriska) koordinater enklast. Man måste också skilja på inertiala och icke-inertiala referensramar. I accelererande referensramar förekommer fiktiva krafter.

Man tar inte med ekvationen i $\hat{\theta}$ -led eftersom den inte behövs för lösningen. Men eftersom $a_{\theta}=r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=2\dot{r}\dot{\theta}$ då $\ddot{\theta}=0$ blir den ganska enkel:

$2m\dot{r}\dot{\theta}=N_{\theta}$

Där $N_{\theta}$ är normalkraften från röret.

Om man vill använda den ekvationen till något nyttigt kan man göra ett energiresonemang och studera den tillförda effekten $Fv=\tau \omega=2m\dot{r}\dot{\theta}r\dot{\theta}$ .

MrPotatohead skrev:
Det är kanske inte helt självklart men eftersom det inte verkar någon kraft i $\hat{r}$ -led kommer $\ddot{r}=r\omega ^2$ (centripetalaccelerationen). (Detta får någon annan gärna förklara vidare. Det skaver i huvudet att den totala radiella accelerationen blir 0 när den accelererar utåt. )

Det jag tror krånglar till sig lite är att man eventuellt "blandar ihop" $\ddot{r}$ , dvs accelerationen av förändringen av radien och accelerationen i radiell led, $\hat{r}$ , som ju innehåller en till term i form av $-r\dot{\theta}^2$ . Och det har ju att göra med att koordinatsystemet också rör på sig.

$a_r=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2$

D4NIEL skrev:
destiny99 skrev:
Jag är dock lite nyfiken över varför de inte tog med den transversella riktningen för accelerationen? Sen undrar jag hur man vet att det här är problemet är en cylinderkoordinater problem och tex inte kartesiska koordinater

Att välja koordinatsystem så att lösningen blir så enkel som möjligt är lite av en konstform och något man lär sig genom erfarenhet. Grundregeln är att om något snurrar runt en fast axel är polära (eller cylindriska) koordinater enklast. Man måste också skilja på inertiala och icke-inertiala referensramar. I accelererande referensramar förekommer fiktiva krafter.

Man tar inte med ekvationen i $\hat{\theta}$ -led eftersom den inte behövs för lösningen. Men eftersom $a_{\theta}=r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=2\dot{r}\dot{\theta}$ då $\ddot{\theta}=0$ blir den ganska enkel:

$2m\dot{r}\dot{\theta}=N_{\theta}$

Där $N_{\theta}$ är normalkraften från röret.

Om man vill använda den ekvationen till något nyttigt kan man göra ett energiresonemang och studera den tillförda effekten $Fv=\tau \omega=2m\dot{r}\dot{\theta}r\dot{\theta}$ .

Så uppgiften hade kunnat lösas med kartesiska koordinater också även om lösningen valde cylindriska koordinater?

Ja, men det hade blivit krångliga uttryck för kraften som påverkar partikeln. Om något snurrar runt tycker jag att din första tanke bör vara "ett roterande koordinatsystem med polära koordinater kanske kan underlätta?"

D4NIEL skrev:
Ja, men det hade blivit krångliga uttryck för kraften som påverkar partikeln. Om något snurrar runt tycker jag att din första tanke bör vara "ett roterande koordinatsystem med polära koordinater kanske kan underlätta?"

Jaha okej , då är det bra med cylindriska koordinater än kartesiska koordinater då något snurrar med en vinkelhastighet. För kartesiska är det ju position och sånt.

D4NIEL skrev:
MrPotatohead skrev:
Det är kanske inte helt självklart men eftersom det inte verkar någon kraft i $\hat{r}$ -led kommer $\ddot{r}=r\omega ^2$ (centripetalaccelerationen). (Detta får någon annan gärna förklara vidare. Det skaver i huvudet att den totala radiella accelerationen blir 0 när den accelererar utåt. )

Det jag tror krånglar till sig lite är att man eventuellt "blandar ihop" $\ddot{r}$ , dvs accelerationen av förändringen av radien och accelerationen i radiell led, $\hat{r}$ , som ju innehåller en till term i form av $-r\dot{\theta}^2$ . Och det har ju att göra med att koordinatsystemet också rör på sig.

$a_r=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2$

Och då märker man att all förändring (acceleration) kommer förändringen av rotationen av koordinatsystemet? För inget kommer från att röret skulle ge något bidrag. Således $\ddot{r}=r\dot{\theta}$ ?

destiny99 skrev:
MrPotatohead skrev:
Jag kan hjälpa dig, men behöver facit så att jag inte är helt ute och seglar.

Åh tack! Ja jag satt och försökte förstå lösningsförslaget precis innan du skrev haha! Här är den.

1) I (8) ser det ut som att de använder cylinderkoordinater för uttrycka accelerationen i radiell led. Hade man använt sig av kartesiska koordinader också?

2) i (9) gör de någon kedjeregeln som jag inte vet hur de kom fram till drprick/dr×rprick. Kan det vara så att de uttryckte rprickprick mha kedjeregeln?

3) i steget efter (11) kommer de fram till att rprick^2=3w^2l^2/4. Jag förstår inte hur de kom fram till det.

4) i steg (12) så skriver de v som roten ur uttrycken och jag förstår inte riktigt det som är under roten ur.

Behöver du fortfarande svar på dessa? Såg dem nu.

MrPotatohead skrev:
destiny99 skrev:
MrPotatohead skrev:
Jag kan hjälpa dig, men behöver facit så att jag inte är helt ute och seglar.

Åh tack! Ja jag satt och försökte förstå lösningsförslaget precis innan du skrev haha! Här är den.

1) I (8) ser det ut som att de använder cylinderkoordinater för uttrycka accelerationen i radiell led. Hade man använt sig av kartesiska koordinader också?

2) i (9) gör de någon kedjeregeln som jag inte vet hur de kom fram till drprick/dr×rprick. Kan det vara så att de uttryckte rprickprick mha kedjeregeln?

3) i steget efter (11) kommer de fram till att rprick^2=3w^2l^2/4. Jag förstår inte hur de kom fram till det.

4) i steg (12) så skriver de v som roten ur uttrycken och jag förstår inte riktigt det som är under roten ur.

Behöver du fortfarande svar på dessa? Såg dem nu.

Ja det hade varit schysst!

destiny99 skrev:
MrPotatohead skrev:
Jag kan hjälpa dig, men behöver facit så att jag inte är helt ute och seglar.

Åh tack! Ja jag satt och försökte förstå lösningsförslaget precis innan du skrev haha! Här är den.

1) I (8) ser det ut som att de använder cylinderkoordinater för uttrycka accelerationen i radiell led. Hade man använt sig av kartesiska koordinader också?

Ja, men som oxå D4NIEL skrev blir det mycket krångligare.

2) i (9) gör de någon kedjeregeln som jag inte vet hur de kom fram till drprick/dr×rprick. Kan det vara så att de uttryckte rprickprick mha kedjeregeln?

Inte riktigt. Det kommer från att man trixar med differentialer:

$a dr = \frac{dv}{dt} dr = \frac{dr}{dt} dv=v dv$

3) i steget efter (11) kommer de fram till att rprick^2=3w^2l^2/4. Jag förstår inte hur de kom fram till det.

I (10) kan du stoppa in $\dot{r}=0$ och $r=l/2$ och lösa för C. När man sedan stoppar in C igen i (10) får du (11).

4) i steg (12) så skriver de v som roten ur uttrycken och jag förstår inte riktigt det som är under roten ur.

Beloppet av en vektor $\vec{v}=x \hat{x} +y \hat{y}$ ges av $|\vec{v}|= \sqrt{x^2+y^2}$ .

Tillägg: 9 aug 2025 19:40

Oklart vad som händer med min Latex.

Tillägg: 9 aug 2025 19:42

Nu så.

MrPotatohead skrev:
destiny99 skrev:
MrPotatohead skrev:
Jag kan hjälpa dig, men behöver facit så att jag inte är helt ute och seglar.

Åh tack! Ja jag satt och försökte förstå lösningsförslaget precis innan du skrev haha! Här är den.

1) I (8) ser det ut som att de använder cylinderkoordinater för uttrycka accelerationen i radiell led. Hade man använt sig av kartesiska koordinader också?

Ja, men som oxå D4NIEL skrev blir det mycket krångligare.

2) i (9) gör de någon kedjeregeln som jag inte vet hur de kom fram till drprick/dr×rprick. Kan det vara så att de uttryckte rprickprick mha kedjeregeln?

Inte riktigt. Det kommer från att man trixar med differentialer:

$a dr = \frac{dv}{dt} dr = \frac{dr}{dt} dv=v dv$

3) i steget efter (11) kommer de fram till att rprick^2=3w^2l^2/4. Jag förstår inte hur de kom fram till det.

I (10) kan du stoppa in $\dot{r}=0$ och $r=l/2$ och lösa för C. När man sedan stoppar in C igen i (10) får du (11).

4) i steg (12) så skriver de v som roten ur uttrycken och jag förstår inte riktigt det som är under roten ur.

Beloppet av en vektor $\vec{v}=x \hat{x} +y \hat{y}$ ges av $|\vec{v}|= \sqrt{x^2+y^2}$ .

Tillägg: 9 aug 2025 19:40

Oklart vad som händer med min Latex.

Tillägg: 9 aug 2025 19:42

Nu så.

Okej men det är inte så att man började skriva om rprickprick som drprick/dr*dr/dt= rprick drprick/dr? Jag misstänkte något sånt innan

Ser inte riktigt vad din omskrivning skulle göra tyvärr.

MrPotatohead skrev:
Ser inte riktigt vad din omskrivning skulle göra tyvärr.

Såhär menar jag. Hoppas det är tydligare

Jaha, jo. Det är samma sak ja. Det är bara att multa med dr i båda led så får du mitt uttryck.

Bumpar inlägg #13.