Bestäm bollens fartändring i detta ögonblick samt krökningsradie

$\mathbf{e}_t=\left(\cos(\alpha), \sin(\alpha)\right)$
$\mathbf{e}_n=\left(\sin(\alpha), -\cos(\alpha)\right)$

$\mathbf{a}=\dot{v}\mathbf{e}_t+\frac{v^2}{\rho}\mathbf{e}_n$

D4NIEL skrev:

 

$\mathbf{e}_t=\left(\cos(\alpha), \sin(\alpha)\right)$
$\mathbf{e}_n=\left(\sin(\alpha), -\cos(\alpha)\right)$

$\mathbf{a}=\dot{v}\mathbf{e}_t+\frac{v^2}{\rho}\mathbf{e}_n$

Tack! Så hur får man vprick? Vi har ju v=(vcosv,vsinv,0) och sen e_t. Så jag antar man gör skalärmultiplikation och sen deriverar ? Sen är jag inte med på hur du får komponenterna för e_n. Jag får (cos60,-sin60,0) för e_n

Det är samma sak, $\sin(30)=\cos(60)$ och $\sin(60)=\cos(30)$.

Eftersom $\mathbf{a}=(0,-g)$ kan du använda projektionerna för varje "led", dvs $\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_t$ och $\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_n$ för att hitta krökningsradie $\rho$ och $\dot{v}$ från formeln. 

D4NIEL skrev:

Det är samma sak, $\sin(30)=\cos(60)$ och $\sin(60)=\cos(30)$.

Eftersom $\mathbf{a}=(0,-g)$ kan du använda projektionerna för varje "led", dvs $\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_t$ och $\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_n$ för att hitta krökningsradie $\rho$ och $\dot{v}$ från formeln. 

Yes ok. Men jag förstår inte varför du tar a*e_t eller a*e_n. Vi vet att a_t =vprick och a_n=v^2/rho. 

Det här hittade jag i kursboken.  Det känns rimligt att multiplicera v (beloppet) som är angiven i uppgiften med e_t och sen derivera den komponenten? 

Ja, men då måste du derivera $\mathbf{e}_t$ med avseende på $t$. Jag misstänker att om du fortsätter läsa längre ned eller på nästa sida i boken kommer de fram till formeln 

$\mathbf{a}=\dot{v}\mathbf{e}_t+\frac{v^2}{\rho}\mathbf{e}_n$

Vilket jag tror är enklare att använda direkt här. Men testa får du se (du ska alltså derivera vektorn $\mathbf{v}$ med avseende på $t$)

D4NIEL skrev:

Ja, men då måste du derivera $\mathbf{e}_t$ med avseende på $t$. Jag misstänker att om du fortsätter läsa längre ned eller på nästa sida i boken kommer de fram till formeln 

$\mathbf{a}=\dot{v}\mathbf{e}_t+\frac{v^2}{\rho}\mathbf{e}_n$

Vilket jag tror är enklare att använda direkt här. Men testa får du se (du ska alltså derivera vektorn $\mathbf{v}$ med avseende på $t$)

Hm jag har inte sett att man deriverar e_t map på t bara för att v skall deriveras. Ja precis den formeln ska jag absolut använda men jag känner inte till vprick och krökningsradie. Jag vet att v kan skrivas som v=(vcosv,vsinv,0) enligt figuren , jag antar att du menar att den ska deriveras  efter att man har skalärtmultiplicerat med e_t?

Ja, men du måste också hämta ut komponenten från bollens acceleration $\mathbf{a}=(0,-g)$

Så $\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_t=(0,-g)\cdot \left(\cos(\alpha), \sin(\alpha)\right)=-g\sin(\alpha)$

Sedan är ju det lika med tidsderivatan av $\mathbf{v}$ i tangentiell led. Om du menar det jag tror du menar spelar det ingen roll om du "projicerar" före eller efter derivatan, men du får inte projicera en skalär.

D4NIEL skrev:

Ja, men du måste också hämta ut komponenten från bollens acceleration $\mathbf{a}=(0,-g)$

Så $\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_t=(0,-g)\cdot \left(\cos(\alpha), \sin(\alpha)\right)=-g\sin(\alpha)$

Sedan är ju det lika med tidsderivatan av $\mathbf{v}$ i tangentiell led. Om du menar det jag tror du menar spelar det ingen roll om du "projicerar" före eller efter derivatan, men du får inte projicera en skalär.

Jag känner inte att jag förstår varför du projicerar a i e_t samt a i e_n. Det här var inte det jag ville göra riktigt. Jag trodde v=ve_t var en vektor där v är beloppet vi har fått givet från uppgiften och vi behöver bara multiplicera den med enhetsvektor i tangentiell riktning och sen derivera vektorn v map tiden. 

$\mathbf{a}$ är bollens acceleration i xy planet. Den påverkas ju av tyngdkraften får därmed accelerationen $\mathbf{a}=\mathbf{g}$

Om vi ska arbeta i naturliga koordinater måste vi ju ta reda på hur $\mathbf{g}$ ser ut i tangentiell och radiell led.

Det går såklart att lösa uppgiften på många olika vis. Har du en speciell lösningsmetod i åtanke får du visa dina räkningar så kanske det är lättare för mig att förstå åt vilket håll du vill gå. Men på något sätt måste du ju få något att jämföra $\dot{v}$ med i tangentiell led?

D4NIEL skrev:

$\mathbf{a}$ är bollens acceleration i xy planet. Den påverkas ju av tyngdkraften får därmed accelerationen $\mathbf{a}=\mathbf{g}$

Om vi ska arbeta i naturliga koordinater måste vi ju ta reda på hur $\mathbf{g}$ ser ut i tangentiell och radiell led.

Det går såklart att lösa uppgiften på många olika vis. Har du en speciell lösningsmetod i åtanke får du visa dina räkningar så kanske det är lättare för mig att förstå åt vilket håll du vill gå.

Såhär tänker jag mig. Vi känner inte till alfaprick. Jag glömde vektorstreck på v på VL när jag skrev v=ve_t sorry!

Tänk på att det är stor skillnad mellan skalären $v$ och vektorn $\mathbf{v}$

Tidsderivatan av $v$ är bara $\dot{v}$.

Tidsderivatan av vektorn $\mathbf{v}$ blir

$\dot{\mathbf{v}}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\dot{v}\mathbf{e}_t+v\frac{d}{dt}(\mathbf{e}_t)=\dots=\dot{v}\mathbf{e}_t+\frac{v^2}{\rho}\mathbf{e}_n$

Jag tror du slarvade med att både basvektorn och $v$ ska deriveras

Edit: Jag hade ett teckenfel på $\mathbf{e}$_n, jämfört med riktningen på vektorn i bilden, det är rättat nu.

D4NIEL skrev:

Tänk på att det är stor skillnad mellan skalären $v$ och vektorn $\mathbf{v}$

Tidsderivatan av $v$ är bara $\dot{v}$.

Tidsderivatan av vektorn $\mathbf{v}$ blir

$\dot{\mathbf{v}}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\dot{v}\mathbf{e}_t+v\frac{d}{dt}(\mathbf{e}_t)=\dots=\dot{v}\mathbf{e}_t-\frac{v^2}{\rho}\mathbf{e}_n$

Jag tror du slarvade med att både basvektorn och $v$ ska deriveras

Ja det har du helt rätt i. Isåfall borde man ta längden av vektorn v som jag skrev och sen tidsderivera den för att få vprick.

Ja, derivatan av $v$ är $\dot{v}$, som alltså är accelerationen i tangentiell led.

Du kan också ta reda på accelerationen i tangentiell led genom att projicera $\mathbf{g}\cdot \mathbf{e}_t$ och de ska ju alltså vara lika, det vill säga $\dot{v}=\mathbf{g}\cdot \mathbf{e}_t$  

D4NIEL skrev:

Ja, derivatan av $v$ är $\dot{v}$, som alltså är accelerationen i tangentiell led.

Du kan också ta reda på accelerationen i tangentiell led genom att projicera $\mathbf{g}\cdot \mathbf{e}_t$ och de ska ju alltså vara lika, det vill säga $\dot{v}=\mathbf{g}\cdot \mathbf{e}_t$  

Kan du visa vad g*e_t är i figuren när du pratar om att projicera g i e_t riktningen? Jag har svårt att se hur dessa ska vara lika

Den blå vektorn $\mathbf{g}$ ska projiceras i $\mathbf{e}_t$-led (för att hitta $\dot{v}$) och i $\mathbf{e}_n$-led (för att hitta $\rho$)

D4NIEL skrev:

Den blå vektorn $\mathbf{g}$ ska projiceras i $\mathbf{e}_t$-led (för att hitta $\dot{v}$) och i $\mathbf{e}_n$-led (för att hitta $\rho$)

Det ser ut som att g är parallell med y komposanten av e_t samt e_n. Varför kan man inte sätta g lika med e_ty=g och e_ny=g?

Japp, de stämmer! Tyngdaccelerationen är ju riktad rakt nedåt i y-led. Och det är ju det som händer när du bildar skalärprodukten. Men du kan inte sätta dem lika på det sätt du skriver.

Det gäller att $\mathbf{g}\cdot \mathbf{e}_t = \dot{v}$ i tangentiell led. Du har ju $\dot{v}$ i tangentiell led, inte i y-led.

D4NIEL skrev:

Japp, de stämmer! Tyngdaccelerationen är ju riktad rakt nedåt i y-led. Och det är ju det som händer när du bildar skalärprodukten. Men du kan inte sätta dem lika på det sätt du skriver.

Det gäller att $\mathbf{g}\cdot \mathbf{e}_t = \dot{v}$ i tangentiell led. Du har ju $\dot{v}$ i tangentiell led, inte i y-led.

Ok. Men jag förstår fortfarande inte hur g*e_t=vprick? Jag förstår att e_t är parallell med vektorn v per definition. Din figur i #16 var inte hjälpsam för att visa hur g*e_t=vprick.

Efter tidsderivering av $\mathbf{v}$ har vi ju formeln

$\mathbf{a}=\dot{v}\mathbf{e}_t+\frac{v^2}{\rho}\mathbf{e}_n$

Det betyder att accelerationen i naturliga koordinater i tangentiell led är $\dot{v}$ (första termen).  Är du med på det?

$\mathbf{g}\cdot \mathbf{e}_t$ är sedan projektionen av vektorn $\mathbf{g}$ i tangentiell led.

D4NIEL skrev:

Efter tidsderivering av $\mathbf{v}$ har vi ju formeln

$\mathbf{a}=\dot{v}\mathbf{e}_t+\frac{v^2}{\rho}\mathbf{e}_n$

Det betyder att accelerationen i naturliga koordinater i tangentiell led är $\dot{v}$ (första termen).  Är du med på det?

$\mathbf{g}\cdot \mathbf{e}_t$ är sedan projektionen av vektorn $\mathbf{g}$ i tangentiell led.

Jag är med på formeln men är inte med på g*e_t och ser inte projektionen som du snackar om framför mig och förstår inte hur g*e_t =vprick

Du vill komposantuppdela vektorn $\mathbf{g}$ i en tangentiell del $\mathbf{g}_t$ och en normal del $\mathbf{g}_n$

Här är ett försök att illustrera $\mathbf{g}_t$

Om det känns underligt med projektioner kan du ställa upp vektorekvationen direkt, det gäller ju att

$\mathbf{a}=\mathbf{g}$

Och sedan sätta in fullständiga uttryck för $\mathbf{a}$ och $\mathbf{g}$.

Det vi försöker visa med projektioner är att

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_t=\mathbf{g}\cdot \mathbf{e}_t$ 

Vilket då ger

$\dot{v}=-g\sin(\alpha)$