Beskriv cirkeln med en ekvation

Figuren visar en cirkel med centrum i $(4,4)$ (eller $(4,0)$ i den första uppgiften).

Cirkeln har radien $4$.

Om man tänker efter är absolutbeloppet $|z-z_0|$ avståndet mellan två punkter i det komplexa talplanet.

Alla punkter på en cirkel ligger på samma avstånd från dess centrum. 

Detta läste jag i facit men förstår fortfarande inte lösningen. Enligt facit är $\left|z-4\right|$= 4 lösningen till a). Betyder det att avståndet är 4 från cirkelns mittpunkt till vilken punkt som helst på cirkelns rand? 

Ifall svaret är ja, så hänger jag med på det. Däremot inte på "z-4" delen. Varför skriver man så och vad ska det innebära? 

Ja, avståndet är 4 från cirkelns mittpunkt till vilken punkt $z$ som helst på cirkelns rand.

$|z-z_0|=4$ betyder helt enkelt alla $z$ sådana att avståndet mellan $z$ och $z_0$ är 4.

I första uppgiften är $z_0=4+0i=4$ Alltså blir det

$|z-z_0|=|z-4|=4$

Är du med?

Yes. Att |z−z₀| = 4 innebär att avståndet från z₀ till z är 4. Hur bestäms z och z₀? Eller rättare sagt varför bestäms z₀ men inte z? 

Tror nästan att svaret är klart men att det är jag som missar något 😅

För absolutbeloppet gäller $|z-z_0|=|z_0-z|$ så du får ju såklart byta namn på punkterna om du vill. Men man "brukar" låta cirkelns mittpunkt vara $z_0$.

Det viktiga är att en av punkterna är "okänd" men ligger på randen till cirkeln samtidigt som den andra punkten sitter fast i centrum. Då ger avståndet mellan punkterna $|z-z_0|=R$ alla punkter på en cirkel på grund av att det är just på cirkeln avståndet mellan dem är exakt $R$. 

Då blev det mycket klarare! Jag ska försöka mig på resten av uppgifterna och återkommer om det dyker upp någon fråga. Tack ska du ha! 

Det tog inte så långt tid för en fråga att dyka upp 😅 Hur vet vi vilken medelpunkt som |z+4|=4 har? Eftersom jag gjorde misstaget att skriva + istället för -, vilket gav en cirkel med medelpunkten -4. Hur kommer det sig?

Ja, det beror på uttrycket, vi har ju att absolutbeloppet av skillnaden, differensen, mellan två komplexa tal ger avståndet mellan dem. Titta

$R=|z-z_0|$

Så när vi har $|z+4|$ får vi alltså tänka oss att det egentligen står en skillnad där! Så här:

$|z+4|=|z-(-4)|=|z-z_0|$ 

Nu stämmer uttrycket  om $z_0=-4+0i$ eller hur?

Åh tack! Makes sense. :D