Bestäm cylinders vinkelhastighet som funktion av vinkeln (Fysik/Universitet)

Några tips.

${\vec{v}}_{B} = r ω {\vec{e}}_{x}$

${\vec{v}}_{A} = {\vec{v}}_{B} + \dot{θ} {\vec{e}}_{z} \times \vec{B A}$

Kinematiskt villkor: ${\vec{v}}_{A} ∙ {\vec{e}}_{x} = 0$ .

PATENTERAMERA skrev:
Några tips.

${\vec{v}}_{B} = r ω {\vec{e}}_{x}$

${\vec{v}}_{A} = {\vec{v}}_{B} + \dot{θ} {\vec{e}}_{z} \times \vec{B A}$

Kinematiskt villkor: ${\vec{v}}_{A} ∙ {\vec{e}}_{x} = 0$ .

Nu hänger jag inte med på hur du får v_A och v_B. Om man tillämpar den där satsen där kroppen är stelt förenad med marken där vc=0 så kan man ju få fram v_B=v_c+wez×r_CB och då får vi v_B=-rwe_x. Gällande v_A så får jag v_A=v_B+wez×(lcosthetae_x, lsinthetae_y) =-rwex+wlcosthetaey-wlsinthetaex. Är detta korrekt?

Jag tänkte mig att w = -we_z. Cylindern skall ju rulla åt höger. Så det är mer naturligt med v_B = rwe_x (dvs positivt värde på w).

Tänk på att stången inte nödvändigtvis har samma vinkelhastighet som cylindern.

PATENTERAMERA skrev:
Jag tänkte mig att w = -we_z. Cylindern skall ju rulla åt höger. Så det är mer naturligt med v_B = rwe_x (dvs positivt värde på w).

Tänk på att stången inte nödvändigtvis har samma vinkelhastighet som cylindern.

Hm jag förstår inte hur man vet åt vilket håll cylinder roterar och hur det är med tecknet där för cylinderns w? Sånt förvirrar mig lite. Ok så stången har egen vinkelhastighet som den roterar med? Den vet vi inte , hur ska vi ta reda på den när vi ska använda oss av hastighetssambandet som jag gjort i #3?

Tänk efter vad som händer när mekanismen släpps. A kommer att åka ner och B kommer att röra sig åt höger.

Stångens vinkelhastighet är $\dot{θ} {\vec{e}}_{z}$ . Men vi vet inte vad $\dot{θ}$ är.

Du kan hitta ett samband mellan $\dot{θ} o c h ω$ , eftersom A bara kan röra sig vertikalt.

PATENTERAMERA skrev:
Tänk efter vad som händer när mekanismen släpps. A kommer att åka ner och B kommer att röra sig åt höger.

Stångens vinkelhastighet är $\dot{θ} {\vec{e}}_{z}$ . Men vi vet inte vad $\dot{θ}$ är.

Du kan hitta ett samband mellan $\dot{θ} o c h ω$ , eftersom A bara kan röra sig vertikalt.

Om A släpps så kommer kolven röra sig vertikalt ned så vi har då v_A=-ve_y . När det gäller hur cylindern rör sig om vi drar loss stången så tänker jag mig att cylinders w_B roterar åt höger dvs medurs riktning som är definierad åt negativ riktning och då blir w_B=-wez. såhär får jag det till för w_A med samband mellan w_A och w_B. När man väl har fått fram vad w_A är så undrar jag vad nästa steg i uppgiften är?

Den första ekvationen ger att w_A = rw_B/(lcos(theta)).

Så du har nu ett uttryck för w_A i termer av w_B = w.

Nu kan du gå vidare med energibetraktelser.

Tänk på att både stången och cylindern har kinetisk energi.

PATENTERAMERA skrev:
Den första ekvationen ger att w_A = rw_B/(lcos(theta)).

Så du har nu ett uttryck för w_A i termer av w_B = w.

Nu kan du gå vidare med energibetraktelser.

Tänk på att både stången och cylindern har kinetisk energi.

Varför ska man ha w_A i termer av w_B? Jag trodde man kunde få fram vad w_A mha ekvation (2), då får man exakt vad w_A är.

Nja, du vet inte vad v är, så du byter bara en obekant mot en annan.

PATENTERAMERA skrev:
Nja, du vet inte vad v är, så du byter bara en obekant mot en annan.

Men du sa att kolven rör sig endast i vertikal led i A , borde det inte betyda v_A=vey? Sen är v_A även lika med uttrycket jag fick i #7 också. Jag håller med om att uppgiften inte har givit oss vad v_B och v_A är för något.

Tänk på att det går ut på att räkna ut w, så det är lämpligt om du uttrycker den kinetiska energin i termer av w. Om du använder v istället så får du först räkna ut vad v skall bli som funktion av theta och sedan räkna ut w från 2). En smaksak.

PATENTERAMERA skrev:
Tänk på att det går ut på att räkna ut w, så det är lämpligt om du uttrycker den kinetiska energin i termer av w. Om du använder v istället så får du först räkna ut vad v skall bli som funktion av theta och sedan räkna ut w från 2). En smaksak.

Ja juste om vi vill ha T1=1/2Iw^2 så behöver vi ha w_A uttryckt i w för den kinetiska energi består inte bara av den delen utan även mv_g^2/2 men v_g är ju stångens och cylinders masscentrums hastighet. Isåfall är det bättre att ha w_A uttryckt i w för det andra sättet med att få ut w låter bara lite jobbigt tidsmässigt.

Men när det gäller energibetraktelser , om stångens har T_stång= Istång*w_A^2/2+1/2*mv_gstång^2 så behöver vi ställa upp T_cylinder och sen addera ihop totala kinetisk energi för hela systemet?

Ja, hela systemets energi måste tas med.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, hela systemets energi måste tas med.

Jag körde fast på hur jag ska hitta V_0 och V_1 i mina beräkningar nedan. När det gäller v_Ag och v_Bg så kan man använda hastighetssambandet för att få fram dem antar jag?

Du kan sätta nollnivån på samma höjd som cylinderns masscentrum. Då bidrager endast stången till V.

PATENTERAMERA skrev:
Du kan sätta nollnivån på samma höjd som cylinderns masscentrum. Då bidrager endast stången till V.

Jag förstår inte riktigt. Om jag sätter h_0 i mitten av cylindern så ser jag inte hur bara stången bidrar ?

Eftersom masscentrum av cylindern ligger på konstant höjd så blir den potentiella energin noll eftersom vi valt denna höjd som nollnivån.

PATENTERAMERA skrev:

Om jag förstår dig så är det cylinderns V_0 som är 0 men V_1 blir då 1/2mgcostheta(potentiella energi för stången)?

Vi kan se cylinderns potentiella energi som konstant (noll). Endast stången bidrar då till den potentiella energin.

Så vi kan se den totala potentiella energin som funktion av theta enligt uttrycket i figuren. V₀ får du genom att sätt theta = 0 i formeln. V₀ = (1/2)mgl.

PATENTERAMERA skrev:
Vi kan se cylinderns potentiella energi som konstant (noll). Endast stången bidrar då till den potentiella energin.

Så vi kan se den totala potentiella energin som funktion av theta enligt uttrycket i figuren. V₀ får du genom att sätt theta = 0 i formeln. V₀ = (1/2)mgl.

Nu är jag lite lost här. Syftar du på stångens potentiella energi eller cylindern? Det känns konstigt att en vinkel ska vara 0 för att nollnivån till höjden till cylinders masscentrum startar från noll. Varför är V som en funktion av theta? Är det bara för att höjden är uttryckt i theta dvs h=l/2costheta ?

Vinkeln theta är noll från början - enligt uppgiften - så stångens potentiella energi är då (1/2)mglcos(0) = mgl/2. I ett godtyckligt läge är stångens potentiella energi (1/2)mglcos(theta).

Cylinderns potentiella energi är noll hela tiden då den behöver vi inte tänka på.

Frågor på det?

PATENTERAMERA skrev:
Vinkeln theta är noll från början - enligt uppgiften - så stångens potentiella energi är då (1/2)mglcos(0) = mgl/2. I ett godtyckligt läge är stångens potentiella energi (1/2)mglcos(theta).

Cylinderns potentiella energi är noll hela tiden då den behöver vi inte tänka på.

Frågor på det?

Nej jag är nöjd med svaret.

PATENTERAMERA skrev:
Vinkeln theta är noll från början - enligt uppgiften - så stångens potentiella energi är då (1/2)mglcos(0) = mgl/2. I ett godtyckligt läge är stångens potentiella energi (1/2)mglcos(theta).

Cylinderns potentiella energi är noll hela tiden då den behöver vi inte tänka på.

Frågor på det?

Jag är inte riktigt övertygad på att cylinders potentiella energi är 0 hela tiden. Jag förstår att när vi sätter nollnivån där masscentrum för cylindern ligger på dvs i punkten B är den just 0 V_0=0 . Men väljer vi en punkt ovanför B eller under så är den absolut inte 0 utan mgr i alla punkter runt hela cylindern utan B då. Jag vet inte hur man resonerar men de här V0 och V1 i den mekaniska energi.

En annan sak som jag undrar över är varför man inte tar potentiella energi för punkterna A och B när man använder V_0 och V_1? Du fokuserade på att ta fram potentiella energi för stångens masscentrum som varierar med theta. Så om theta ökar från 0 till godtycklig vinkel så får vi skillnad i höjd för stångens masscentrum?

Ja, du använder alltid masscentrum för en kropp när du beräknar potentiell energi i ett konstant gravitationsfält.

Ja, säg att du sätter nollnivån vid marken. Då blir potentiella energin för cylindern mgr, men fortfarande konstant.

V(theta) = V_stång(theta) + mgr

V₀ = V(0) = V_stång(0) + mgr

Så du kommer få ett mgr i båda led av ekvationen, så du kan förkorta bort mgr.

T₀ + V_stång(0) + mgr = T₁ + V_stång(theta) + mgr.

Du kan jämföra med Lagranges ekvationer.

L = T - V.

Om du kar en konstant term i V så har det ingen inverkan på rörelsen eftersom Lagranges ekvationer tar derivator så att alla konstanter försvinner.

$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) = 0$ .

PATENTERAMERA skrev:
Ja, du använder alltid masscentrum för en kropp när du beräknar potentiell energi i ett konstant gravitationsfält.

Ja, säg att du sätter nollnivån vid marken. Då blir potentiella energin för cylindern mgr, men fortfarande konstant.

V(theta) = V_stång(theta) + mgr

V₀ = V(0) = V_stång(0) + mgr

Så du kommer få ett mgr i båda led av ekvationen, så du kan förkorta bort mgr.

T₀ + V_stång(0) + mgr = T₁ + V_stång(theta) + mgr.

Ok om jag förstår detta korrekt så rör sig cylindern enbart i horisontell led och alltså finns det inte ingen skillnad i höjdled då höjden dvs r är alltid konstant så V(r)=0 för cylindern medan för stången så förändras dess höjd på grund av vinkeln så vi får höjdskillnad. Vi kan se att mgr på HL och VL tar ut varandra enligt din uppställda ekvation.

Ja, ungefär så.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, ungefär så.

Jag var aldrig klar med den uppgiften och körde fast vid hur man hittar v_g för cylinder och v_g för stången. Såhär långt kom jag

mitt svar och facit är inte samma. Vet ej vad som har gått snett.

Hur vet man att det är i punkten A som stången har samma vinkelhastighet som i den punkten? Nu gjorde jag ju som du sa med att hitta vinkelhastighet för stången då den inte är samma som den i punkten B. Men jag hann inte reflektera över varför det är just punkten A som är stångens vinkelhastighet.

PATENTERAMERA skrev:

Ok jag förstår inte riktigt vad du gör för att hitta v_G. Men jag antar att man ska hitta (x_g och y_g) som funktion , sen derivera och summera dem och ta sqrt av dessa för att få v_g. Du har inte besvarat på min fråga i #33 gällande stångens vinkelhastighet.

Eftersom G hela tiden ligger mittemellan A och B så blir hastigheten hos G medelvärdet av hastigheterna för A och B.

PATENTERAMERA skrev:
Eftersom G hela tiden ligger mittemellan A och B så blir hastigheten hos G medelvärdet av hastigheterna för A och B.

Så det är rätt att man ska hitta x_G och y_G mha trigonometri och derivera? Sen ska man ta absolutbeloppet

Stångens vinkelhastighet är $\dot{θ}$ . Vinkelhastigheten för cylindern är $ω$ . De är inte oberoende, utan uppfyller (4).

PATENTERAMERA skrev:
Stångens vinkelhastighet är $\dot{θ}$ . Vinkelhastigheten för cylindern är $ω$ . De är inte oberoende, utan uppfyller (4).

Men varför är stångens vinkelhastighet samma som den i A ? Vi fick ju ett uttryck där det såg ut som att vi räknade ut vinkelhastighet för A. Det där sista du skrev om att de är inte oberiende och uppfyller (4) förstår jag inte.

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Eftersom G hela tiden ligger mittemellan A och B så blir hastigheten hos G medelvärdet av hastigheterna för A och B.

Så det är rätt att man ska hitta x_G och y_G mha trigonometri och derivera? Sen ska man ta absolutbeloppet

Du kan använda trigonometri, att v_G är medelvärdet av v_A och v_B eller sambandsformeln för hastigheter (v_G = v_A+ thetapricke_z x r_AG).

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Eftersom G hela tiden ligger mittemellan A och B så blir hastigheten hos G medelvärdet av hastigheterna för A och B.

Så det är rätt att man ska hitta x_G och y_G mha trigonometri och derivera? Sen ska man ta absolutbeloppet

Du kan använda trigonometri, att v_G är medelvärdet av v_A och v_B eller sambandsformeln för hastigheter (v_G = v_A+ thetapricke_z x r_AG).

Jag vill gärna använda sambandsformeln för hastigheter isådant fall för det var ju det jag gjorde ibörjan men det blev inte rätt. Här behöver jag bara thetaprick och r_ag för att lösa v_G. Lite synd att man inte kan använda v_g=v_b+thetaprickez×r_BG, kan man använda den också?

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Eftersom G hela tiden ligger mittemellan A och B så blir hastigheten hos G medelvärdet av hastigheterna för A och B.

Så det är rätt att man ska hitta x_G och y_G mha trigonometri och derivera? Sen ska man ta absolutbeloppet

Du kan använda trigonometri, att v_G är medelvärdet av v_A och v_B eller sambandsformeln för hastigheter (v_G = v_A+ thetapricke_z x r_AG).

Jag vill gärna använda sambandsformeln för hastigheter isådant fall för det var ju det jag gjorde ibörjan men det blev inte rätt. Här behöver jag bara thetaprick och r_ag för att lösa v_G. Lite synd att man inte kan använda v_g=v_b+thetaprickez×r_BG, kan man använda den också?

Du kan använda båda.

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Stångens vinkelhastighet är $\dot{θ}$ . Vinkelhastigheten för cylindern är $ω$ . De är inte oberoende, utan uppfyller (4).

Men varför är stångens vinkelhastighet samma som den i A ? Vi fick ju ett uttryck där det såg ut som att vi räknade ut vinkelhastighet för A. Det där sista du skrev om att de är inte oberiende och uppfyller (4) förstår jag inte.

Vinkeln theta beskriver stångens vridning så vinkelhastigheten för stången blir thetaprick. Inga konstigheter.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Stångens vinkelhastighet är $\dot{θ}$ . Vinkelhastigheten för cylindern är $ω$ . De är inte oberoende, utan uppfyller (4).

Men varför är stångens vinkelhastighet samma som den i A ? Vi fick ju ett uttryck där det såg ut som att vi räknade ut vinkelhastighet för A. Det där sista du skrev om att de är inte oberiende och uppfyller (4) förstår jag inte.

Vinkeln theta beskriver stångens vridning så vinkelhastigheten för stången blir thetaprick. Inga konstigheter.

Ah ok den förklaringen köper jag. Men varför blandar man in hastighet hos punkten A och B för att hitta vinkelhastighet hos stången?

Snarar tvärtom, vi bestämmer hur hastigheterna beror av theta och thetaprick.

PATENTERAMERA skrev:
Snarar tvärtom, vi bestämmer hur hastigheterna beror av theta och thetaprick.

Hur då? Vi får ju att w_A beror av theta och inte thetaprick.

Vad är w_A?

PATENTERAMERA skrev:
Vad är w_A?

Vinkelhastighet för stången. Det är just den vi pratat om i några inlägg innan. Mha sambansformeln så fick jag detta för v_g

Stångens vinkelhastighet är thetaprick (som vi kom fram till i #44), så den beror i högsta grad på thetaprick. I ett senare skede utnyttjar vi energins bevarande för att hitta hur thetaprick och w beror av theta.

PATENTERAMERA skrev:
Stångens vinkelhastighet är thetaprick (som vi kom fram till i #44), så den beror i högsta grad på thetaprick. I ett senare skede utnyttjar vi energins bevarande för att hitta hur thetaprick och w beror av theta.

Så samma vinkelhastighet kan inte utnyttjas i energiformeln om jag har förstått dig rätt ? Isådantfall blir det bara thetaprick även där som vi inte har någon aning om. Men den hittade vi sen mha hastighetssambandet och ekvationssystemet. Men då var det onödigt att w_A i #7 om vinkelhastigheten för stången ska hela tiden vara thetaprick även i energiformeln.

Ja det räcker att ange stångens vinkelhastighet som thetaprick. Men det är naturligtvis viktigt att thetaprick och cylinderns vinkelhastighet w inte är oberoende storheter.

PATENTERAMERA skrev:
Ja det räcker att ange stångens vinkelhastighet som thetaprick. Men det är naturligtvis viktigt att thetaprick och cylinderns vinkelhastighet w inte är oberoende storheter.

Ok. Men då ska w_b vara beroende av stångens vinkelhastighet när vi ska lösa w_B(theta)? I facit löser de ut w men jag får w_b när jag skriver om w_A som thetaprick =r/l*costhetaw_B=>

VI vet också att w_b=-wez

Såhär är mitt svar vilket skiljer sig från facits svar lite. Så jag vet inte vad som är fel.

Tillägg: 27 nov 2025 12:17

Nu löste jag detta!

Wunderbar!