Bestäm de komplexa tal med belopp 1 för vilka det gäller att |1+iz| = 1

Sätt z = a+bi, där vi vet att |z| = 1, dvs att a²+b² = 1.

Då är iz = i(a+bi) = ai+bi² = -b+ai

Vi vill nu bestämma alla möjliga värden på a och b som dessutom uppfyller att |1+iz| = 1, dvs att |1-b+ai| = 1.

Kommer du vidare då?

Man kan också prova en mer geometrisk variant. Att |z|=1 betyder att z ligger på enhetscirkeln. Då ligger också iz på enhetscirkeln. Dess avstånd till punkten -1 ska vara 1, vilket betyder att iz också ska ligga på cirkeln med medelpunkt i  -1 och radien 1. Där den cirkeln skär enhetscirkeln har vi punkterna för iz. Därur får man var z ska ligga. ( jmf konstruktion av en liksidig hexagon Mh a passare och linjal)

Tack för svaren!

om vi ska bestämma värdena för a och b då |1-b-ai| = 1 får vi:

(1-b)^2 + (a)^2 = 1 <=> 1-2b+b^2 + a^2 = 1 <=> b^2 + a^2 -2b = 0

Vet inte om jsg tänkt rätt så lång och om så hur jag ska fortsätta?:(

Du har även att a² + b² = 1. Utnyttja det i din sista ekvation.

Ah juste tack! Då får jag att a =+- $\sqrt{3}$/2 och b = 1/2:

b^2 + a^2 - 2b = 0  (1)

a^2 + b^2 = 1 <=> a^2 = 1- b^2 (2)

(2) i (1): b^2 + 1 - b^2 - 2b = 0 <=> 2b = 1 <=> b = 1/2

från (2): a^2 = 1 - b^2 <=> a = $\sqrt{1-1/4}$<=> a = $\sqrt{3/4}$<=>a=+- $\sqrt{3}$/2

Det stämmer med svaret i facit. Bra!

Tack för hjälpen!