Bestäm de tangentplan till ytan som är parallella med planet

Hej! 

Det normala är att man behöver ha lika många ekvationer som variabler för att kunna bestämma variablerna exakt utan att de beror av någon parameter. Problemet i din uträkning dyker upp i din uträkning kring den inringade tvåan. Som beskrivet ovan så kan man få fram parameterlösningar, som ovan x=lambda=z men även konstanta lösningar som y=0. Vid 2:an så har du 2lambda=2lambda vilket absolut har lösningen lambda=1, men det finns vidare oändligt många mer. Det som händer är att du inte bryr dig om var punkterna ligger, vilket leder till att flera lösningar går förlorade, samt att vissa lösningar blir inkorrekta. Därför används just ekvationen för planet för att man vill att varje punkt (x,y,z) ska uppfylla kravet hos funktionsytan. 

Det som menas med att ytan är en nivåyta bygger på att man vill använda gradientens betydelse. Vad är skillnaden om man hade sätt den som en tvåvariabelfunktion respektive trevariabelfunktion. Det finns allämnt två ekvivalenta tolkningar av gradientvektorn, där den ena är i vilken riktning som funktionen växer som snabbast eller i den riktningen som är vinkelrät mot nivåkurvorna/ytorna. 

Eagle314 skrev:

Hej! 

Det normala är att man behöver ha lika många ekvationer som variabler för att kunna bestämma variablerna exakt utan att de beror av någon parameter. Problemet i din uträkning dyker upp i din uträkning kring den inringade tvåan. Som beskrivet ovan så kan man få fram parameterlösningar, som ovan x=lambda=z men även konstanta lösningar som y=0. Vid 2:an så har du 2lambda=2lambda vilket absolut har lösningen lambda=1, men det finns vidare oändligt många mer. Det som händer är att du inte bryr dig om var punkterna ligger, vilket leder till att flera lösningar går förlorade, samt att vissa lösningar blir inkorrekta. Därför används just ekvationen för planet för att man vill att varje punkt (x,y,z) ska uppfylla kravet hos funktionsytan. 

Det som menas med att ytan är en nivåyta bygger på att man vill använda gradientens betydelse. Vad är skillnaden om man hade sätt den som en tvåvariabelfunktion respektive trevariabelfunktion. Det finns allämnt två ekvivalenta tolkningar av gradientvektorn, där den ena är i vilken riktning som funktionen växer som snabbast eller i den riktningen som är vinkelrät mot nivåkurvorna/ytorna. 

Det stämmer att det inte är lika många variabler som ekvationer om man uteslutar sista ekvationen. Jag brukar inte tänka på det. Sen kan det hända att man råkar ha lika många ekvationer som variabler, ska funktionsytan fortfarande vara med som en extra ekvation ändå?

Så i sån här fall ska man alltid ha med funktionsytan som en extra ekvation för att ge utrymme till fler lösningar?  Vad menar du med att man vill att varje punkt ska uppfylla kravet funktionsytan?

1) Om man skulle ha en fjärde ekvation som inte är funktionsytan hade det fungerat också såvida den ekvationen inte beror på de andra ekvationerna. Problemet är att förutom just ekvationen för funktionsytan så är det svårt att hitta någon annan ekvation. Funktionsytans ekvation står ju bara där så det är smidigt att använda just den ekvationen.

• 2) Om man inte använder funktionsytan så ser du från ekvationen som jag skrev i förra svaret att man kommer att få oändligt många plan som uppfyller de givna villkoren. Problemet är att (enligt svaret) alla utan två av dessa plan aldrig tangerar funktionen. Om då punkten uppfyller ekvationen för funktionsytan, xy+yz+xz=1, så ser det till att varje plan vi finner faktiskt tangerar.