3 svar
42 visningar
Jezusoyedan är nöjd med hjälpen!
Jezusoyedan 94
Postad: 20 sep 2020

Bestäm den allmänna lösningen

y'+y=3e2x

Det som jag har förstått är att man hittar allmänna lösningen genom yh+yp

dock när jag försöker ta fram den partikulära lösningen så stämmer inte det med svaret.

Känns att jag förstår inget när man ska lösa uppgifter med expontiella funktioner, hur gör jag? 
(Vet att ansatsen ska vara a•ekx)

Micimacko 2095
Postad: 20 sep 2020

K ser ut att vara 2 här. Derivera, stoppa in i ekvationen och bestäm sen a.

oneplusone2 444
Postad: 21 sep 2020

använd integrerande faktor

Albiki 5026
Postad: 21 sep 2020 Redigerad: 21 sep 2020

Hej Jezus,

Med hjälp av Produktregeln för derivering kan uttrycket y'(x)+y(x)y^\prime(x)+y(x) skrivas som derivatan av en speciell produkt:

y(x)·exy(x) \cdot e^{x}

Derivera denna för att få

    y'(x)ex+y(x)ex=ex·(y'(x)+y(x)).y^\prime(x) e^{x} + y(x)e^{x} = e^{x} \cdot (y^\prime(x) + y(x)).

Detta visar att om du multiplicerar differentialekvationen med funktionen exe^x (den så kallade integrerande faktorn) kan ekvationen skrivas på en form som man kan integrerar direkt.

    ex·(y'(x)+y(x))=3e2x·ex(y·ex)'(x)=3e3x.e^x \cdot (y^\prime(x)+y(x)) = 3e^{2x} \cdot e^x \iff (y \cdot e^x)^\prime(x) = 3e^{3x}.

Integrera detta för att få de sökta lösningarna.

    y(x)ex=C+e3xy(x)=Ce-x+e2x.y(x) e^{x} = C + e^{3x} \iff y(x) = Ce^{-x} + e^{2x}.

Notera att denna metod automatiskt ger dig de homogena lösningarna yh(x)=Ce-xy_h(x) = Ce^{-x} och en partikulärlösning yp(x)=e2xy_p(x)=e^{2x} samtidigt. Tyvärr fungerar metoden bara för linjära differentialekvationer av första ordningen, som din ekvation är ett exempel på.

Svara Avbryt
Close