22 svar
216 visningar
1010 9
Postad: 10 maj 2019 Redigerad: 10 maj 2019

Bestäm den primitiva funktionen till f(x) = e^x^2

Hej, har fått en slutuppgift av min lärare att beräkna ett valfritt omfångsrikt problem där jag får ta hjälp av andra, 

Du ska få beräkna integralen02ex2dxmed hjälp av tre olika numeriska metoder.

1. Finn ett ungefärligt värde på integralen 02ex2dxgenom att dela in arean under grafen till f(x) =  ex2 i ett antal rektanglar.

2. Finn ett ungefärligt värde på integralen 02ex2dxgenom att dela in arean under grafen till f(x) = ex2 i ett antal parallelltrapetser.

3. Ta reda på hur Simpsons formel fungerar och använd den för att beräkna integralen 02ex2dx

Slutligen beräkna integralen med hjälp av något digitalt hjälpmedel och jämför resultatet vilket jag har fått till 16,45 a.e.

Jag har ingen aning om hur jag ska påbörja uppgiften och förstår inte riktigt vad jag ska göra när jag ska dela in arean i ett antal rektanglar och parallelltrapetser.

EDIT: Jag förstår att jag ska beräkna arean under grafen genom att dela in den i rektanglar respektive parallelltrapetser men vet inte hur de hjälper mig att lösa själva uppgiften.

Smutsmunnen 102
Postad: 10 maj 2019

Börja kanske med att läsa om riemannsummor på exempelvis wikipedia

1010 9
Postad: 10 maj 2019
Smutsmunnen skrev:

Börja kanske med att läsa om riemannsummor på exempelvis wikipedia

Har gjort det men förstår inte hur jag ska använda mig av det för att lösa själva uppgiften

Smutsmunnen 102
Postad: 10 maj 2019

Ok svenska wikipedias artikel var extremt fåordig, jag borde ha kollat det innan jag hänvisade dig dit.

Iden på a) är dela in intervallet mellan 0 och 2 i ett antal delintervall och beräkna arean av den minsta rektangel som ryms i delintervallet. 

Så om du har två delintervall så är rektanglarnas bredd 1 och de har höjder f(0) respektive f(1) där f är integranden.

Du kan ju börja med 2 delintervall, sedan 4 sedan 10, sedan kanske 20. Du kommer att få successivt bättre approximationer av arean under kurvan. Om du har lite programmeringskubskaper kan man testa 100 och 1000 delintervall också

Smutsmunnen 102
Postad: 10 maj 2019

Vad du sedan kan göra är att även approximera överintegralen. Då gör du likadant fast istället för att använda funktiinens värde i den vänstra intervallgränsen för att beräkna rektangelns höjd använder du den högra. 

Integralens verkliga värde kommer att ligga mellan det du får när du använder vänstra intervallgränsen och det du får när du använder högra intervallgränsen.

1010 9
Postad: 10 maj 2019
Smutsmunnen skrev:

Ok svenska wikipedias artikel var extremt fåordig, jag borde ha kollat det innan jag hänvisade dig dit.

Iden på a) är dela in intervallet mellan 0 och 2 i ett antal delintervall och beräkna arean av den minsta rektangel som ryms i delintervallet. 

Så om du har två delintervall så är rektanglarnas bredd 1 och de har höjder f(0) respektive f(1) där f är integranden.

Du kan ju börja med 2 delintervall, sedan 4 sedan 10, sedan kanske 20. Du kommer att få successivt bättre approximationer av arean under kurvan. Om du har lite programmeringskubskaper kan man testa 100 och 1000 delintervall också

Jag använde mig av GeoGebra för att testa. Med två rektanglar fick jag det till: 57.32 a.e. Med fyra rektanglar fick jag det till: 34.04 a.e. Med 1000 rektanglar fick jag det till 16.51 a.e. Ser nu att ju fler rektanglar, desto bättre närmevärde får jag till vad jag ska ha. Förstår däremot inte vad du menar med att approximera överintegralen. Samt, är det enbart via ett digitalt verktyg man kan lösa detta eller går det att göra förhand också?

Smutsmunnen 102
Postad: 10 maj 2019

Om du ska ett hyfsat stort antal delintervall så kommer du i praktiken vilja ha något digitalt verktyg. För små intervall fungerar det för hand. Du kan ju illustrera för något litet värde på delintervall så att din lärare ser att du förstått principen men sedan bör nog svaren helst bygga på stort antal delintervall och där förväntas nog inget annat än att du använt något verktyg.

I geogebra så har du dels upper sum och lower sum, det är de jag kallar överintegral respektive underintegral.

Poängen är att du vet att integralens sanna värde ligger mellan dessa gränser.

För att vara tydlig 

upper sum:

1n(k=1nf(2kn))

lower sum:

1n(k=0n-1f(2kn)  )

Smutsmunnen 102
Postad: 10 maj 2019

Jag använde alltså följande geogebra-app

https://www.geogebra.org/m/SNS8SYSg

1010 9
Postad: 11 maj 2019
Smutsmunnen skrev:

Jag använde alltså följande geogebra-app

https://www.geogebra.org/m/SNS8SYSg

Nu ser jag hur det fungerar, och med parallelltrapetser är det väl samma princip antar jag och man kan skriva in det i vanlig GeoGebra räknare?

Albiki 3912
Postad: 11 maj 2019 Redigerad: 11 maj 2019

Hej!

Många approximationsmetoder för att beräkna integralen

    02ex2dx\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx

börjar med att dela in intervallet [0,2][0,2] i ett stort antal (nn stycken) korta delintervall.

    [0,2]=[0 ,t1)[t1 ,t2)[t2 ,t3)[tn-1,2][0,2] = [0\ ,t_1) \cup[t_1\ ,t_2) \cup [t_2\ , t_3) \cup \cdots \cup [t_{n-1},2]

Integralen över intervallet [0,2][0,2] kan skrivas som en summa av integraler över dessa korta intervall.

    02ex2dx=0t1ex2dx+t1t2ex2dx+t2t3ex2dx++tn-12ex2dx.\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx = \int_{0}^{t_1}e^{x^2}\,dx+\int_{t_1}^{t_2}e^{x^2}\,dx+\int_{t_2}^{t_3}e^{x^2}\,dx+\cdots+\int_{t_{n-1}}^{2}e^{x^2}\,dx.

Det finns flera metoder att approximera integranden ex2e^{x^2} över korta intervall. 

  • Rektangelmetoden baseras på att approximera ex2e^{x^2} med ett nolltegradspolynom (en konstant funktion).
  • Trapetsmetoden baseras på att approximera ex2e^{x^2} med ett förstagradspolynom.
  • Simpsons metod baseras på att approximera ex2e^{x^2} med ett andragradspolynom.
tomast80 2326
Postad: 11 maj 2019
Smutsmunnen skrev:

Om du ska ett hyfsat stort antal delintervall så kommer du i praktiken vilja ha något digitalt verktyg. För små intervall fungerar det för hand. Du kan ju illustrera för något litet värde på delintervall så att din lärare ser att du förstått principen men sedan bör nog svaren helst bygga på stort antal delintervall och där förväntas nog inget annat än att du använt något verktyg.

I geogebra så har du dels upper sum och lower sum, det är de jag kallar överintegral respektive underintegral.

Poängen är att du vet att integralens sanna värde ligger mellan dessa gränser.

För att vara tydlig 

upper sum:

1n(k=1nf(2kn))

lower sum:

1n(k=0n-1f(2kn)  )

Hur vet du att det verkliga värdet ligger mellan lower sum och upper sum? Det beror väl på hur funktionen ser ut?

1010 9
Postad: 11 maj 2019
Albiki skrev:

Hej!

Många approximationsmetoder för att beräkna integralen

    02ex2dx\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx

börjar med att dela in intervallet [0,2][0,2] i ett stort antal (nn stycken) korta delintervall.

    [0,2]=[0 ,t1)[t1 ,t2)[t2 ,t3)[tn-1,2][0,2] = [0\ ,t_1) \cup[t_1\ ,t_2) \cup [t_2\ , t_3) \cup \cdots \cup [t_{n-1},2]

Integralen över intervallet [0,2][0,2] kan skrivas som en summa av integraler över dessa korta intervall.

    02ex2dx=0t1ex2dx+t1t2ex2dx+t2t3ex2dx++tn-12ex2dx.\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx = \int_{0}^{t_1}e^{x^2}\,dx+\int_{t_1}^{t_2}e^{x^2}\,dx+\int_{t_2}^{t_3}e^{x^2}\,dx+\cdots+\int_{t_{n-1}}^{2}e^{x^2}\,dx.

Sedan finns det flera metoder att approximera integranden ex2e^{x^2} över korta intervall

  • Rektangelmetoden baseras på att approximera ex2e^{x^2} med ett nolltegradspolynom (en konstant funktion)
  • Trapetsmetoden baseras på att approximera ex2e^{x^2} med ett förstagradspolynom.
  • Simpsons metod baseras på att approximera ex2e^{x^2} med ett andragradspolynom.

Tror jag förstår hur du menar. Hittade ett klipp på YT om rektangelmetoden samt trapetsmetoden, kollar på det lite senare då annat behöver studeras just nu.

Smutsmunnen 102
Postad: 11 maj 2019
tomast80 skrev:
Smutsmunnen skrev:

Om du ska ett hyfsat stort antal delintervall så kommer du i praktiken vilja ha något digitalt verktyg. För små intervall fungerar det för hand. Du kan ju illustrera för något litet värde på delintervall så att din lärare ser att du förstått principen men sedan bör nog svaren helst bygga på stort antal delintervall och där förväntas nog inget annat än att du använt något verktyg.

I geogebra så har du dels upper sum och lower sum, det är de jag kallar överintegral respektive underintegral.

Poängen är att du vet att integralens sanna värde ligger mellan dessa gränser.

För att vara tydlig 

upper sum:

1n(k=1nf(2kn))

lower sum:

1n(k=0n-1f(2kn)  )

Hur vet du att det verkliga värdet ligger mellan lower sum och upper sum? Det beror väl på hur funktionen ser ut?

Ja det beror på hur funktionen ser ut. 

Hur ser den ut i det här fallet?

tomast80 2326
Postad: 11 maj 2019

I det här fallet är integranden strikt växande så då är upper sum större än lower sum.

Albiki 3912
Postad: 11 maj 2019

Hej!

Avancerade metoder för att approximera integralen 02ex2dx\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx går ut på att finna en approximation till integranden  ex2e^{x^2} som är nära ex2e^{x^2} över hela intervallet [0,2][0,2] (så kallad likformig approximation) istället för de ovan nämnda metoderna som ger approximationer som är nära ex2e^{x^2} över korta delintervall (så kallad punktvis approximation).

Ett sådant exempel är approximation med Bernsteinpolynom. Detta är polynom som approximerar en funktion över intervallet [0,1].[0,1]. 

För att använda Bernsteinpolynom gör man först ett variabelbyte så att integralen beräknas över intervallet [0,1][0,1] istället för intervallet [0,2].[0,2]. Låt u=0.5xu = 0.5x så att du=0.5dxdu = 0.5dx och integralen kan skrivas

    x=02ex2dx=u=012e4u2du.\displaystyle\int_{x=0}^{2}e^{x^2}\,dx = \int_{u=0}^{1}2e^{4u^2}\,du.

Sedan approximeras integranden 2e4u22e^{4u^2} med ett Bernsteinpolynom Bn(u)B_n(u) av önskad grad (nn). 

1010 9
Postad: 11 maj 2019
Albiki skrev:

Hej!

Avancerade metoder för att approximera integralen 02ex2dx\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx går ut på att finna en approximation till integranden  ex2e^{x^2} som är nära ex2e^{x^2} över hela intervallet [0,2][0,2] (så kallad likformig approximation) istället för de ovan nämnda metoderna som ger approximationer som är nära ex2e^{x^2} över korta delintervall (så kallad punktvis approximation).

Ett sådant exempel är approximation med Bernsteinpolynom. Detta är polynom som approximerar en funktion över intervallet [0,1].[0,1]. 

För att använda Bernsteinpolynom gör man först ett variabelbyte så att integralen beräknas över intervallet [0,1][0,1] istället för intervallet [0,2].[0,2]. Låt u=0.5xu = 0.5x så att du=0.5dxdu = 0.5dx och integralen kan skrivas

    x=02ex2dx=u=012e4u2du.\displaystyle\int_{x=0}^{2}e^{x^2}\,dx = \int_{u=0}^{1}2e^{4u^2}\,du.

Sedan approximeras integranden 2e4u22e^{4u^2} med ett Bernsteinpolynom Bn(u)B_n(u) av önskad grad (nn). 

Hej! Själva uppgiften går ut på att jag ska finna ett ungefärligt värde på integralen genom att 1: Dela in arean under grafen i ett antal rektanglar. 2: Dela in arean under grafen i ett antal parallelltrapetser. 3: Använda Simpsons formel för att beräkna integralen.

Om inte jag missförstår ditt lösningsförslag så kan jag nog inte använda mig utav det, tack iallafall för tipset!

Albiki 3912
Postad: 11 maj 2019
1010 skrev:
Albiki skrev:

Hej!

Avancerade metoder för att approximera integralen 02ex2dx\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx går ut på att finna en approximation till integranden  ex2e^{x^2} som är nära ex2e^{x^2} över hela intervallet [0,2][0,2] (så kallad likformig approximation) istället för de ovan nämnda metoderna som ger approximationer som är nära ex2e^{x^2} över korta delintervall (så kallad punktvis approximation).

Ett sådant exempel är approximation med Bernsteinpolynom. Detta är polynom som approximerar en funktion över intervallet [0,1].[0,1]. 

För att använda Bernsteinpolynom gör man först ett variabelbyte så att integralen beräknas över intervallet [0,1][0,1] istället för intervallet [0,2].[0,2]. Låt u=0.5xu = 0.5x så att du=0.5dxdu = 0.5dx och integralen kan skrivas

    x=02ex2dx=u=012e4u2du.\displaystyle\int_{x=0}^{2}e^{x^2}\,dx = \int_{u=0}^{1}2e^{4u^2}\,du.

Sedan approximeras integranden 2e4u22e^{4u^2} med ett Bernsteinpolynom Bn(u)B_n(u) av önskad grad (nn). 

Hej! Själva uppgiften går ut på att jag ska finna ett ungefärligt värde på integralen genom att 1: Dela in arean under grafen i ett antal rektanglar. 2: Dela in arean under grafen i ett antal parallelltrapetser. 3: Använda Simpsons formel för att beräkna integralen.

Om inte jag missförstår ditt lösningsförslag så kan jag nog inte använda mig utav det, tack iallafall för tipset!

Mitt inlägg var avsett att ge dig ytterligare sätt (i viss mening bättre sätt) att approximera integralen ifall du var intresserad av att göra mer än minsta möjliga arbete för att göra läraren nöjd. Det är okej om du inte är intresserad av mitt inlägg; någon annan läsare kanske är intresserad. 

12345 3
Postad: 21 maj 2019

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

1010 9
Postad: 22 maj 2019
12345 skrev:

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

Hej!

Jag lyckades lösa uppgiften med både rektangel- trapets samt Simpsons metoden. Började med att använda mig utav rektangelmetoden där jag fick använda mig utav väldigt många delintervall för att få ut resultatet. Började med 4, därefter 8 som jag löste förhand och sedan använde jag mig utav GeoGebra för större delintervall.

Samma med trapetsmetoden men där behövdes färre delintervall för att få ut rätt svar, och använde mig utav samma delintervall, 4, därefter 8 som jag löste förhand och därefter GeoGebra.

1010 9
Postad: 22 maj 2019
12345 skrev:

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

Hjälpte mig ganska mycket, https://www.youtube.com/watch?v=JRNmNtB3Xf0

12345 3
Postad: 23 maj 2019
1010 skrev:
12345 skrev:

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

Hjälpte mig ganska mycket, https://www.youtube.com/watch?v=JRNmNtB3Xf0

Tack för hjälpen! Har tänkt samma med rektangel- och trapetsmetoden, är dock osäker på simpsons formeln. Vet du nån bra video du använt dig av för att förstå formeln, eller använde du dig utav wikipedias förklaring för simpsons formeln? 

1010 9
Postad: 23 maj 2019
12345 skrev:
1010 skrev:
12345 skrev:

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

Hjälpte mig ganska mycket, https://www.youtube.com/watch?v=JRNmNtB3Xf0

Tack för hjälpen! Har tänkt samma med rektangel- och trapetsmetoden, är dock osäker på simpsons formeln. Vet du nån bra video du använt dig av för att förstå formeln, eller använde du dig utav wikipedias förklaring för simpsons formeln? 

Kollade på ett par olika videoklipp, funkade dock inte för mig att använda mig utav metoden de gjorde. Fann däremot denna sida som visar steg för steg hur man löser uppgiften vilket gav mig mer förståelse. https://www.emathhelp.net/calculators/calculus-2/simpsons-rule-calculator/?f=e%5E%28x%29%5E2&a=0&b=2&n=4&steps=on

12345 3
Postad: 23 maj 2019
1010 skrev:
12345 skrev:
1010 skrev:
12345 skrev:

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

Hjälpte mig ganska mycket, https://www.youtube.com/watch?v=JRNmNtB3Xf0

Tack för hjälpen! Har tänkt samma med rektangel- och trapetsmetoden, är dock osäker på simpsons formeln. Vet du nån bra video du använt dig av för att förstå formeln, eller använde du dig utav wikipedias förklaring för simpsons formeln? 

Kollade på ett par olika videoklipp, funkade dock inte för mig att använda mig utav metoden de gjorde. Fann däremot denna sida som visar steg för steg hur man löser uppgiften vilket gav mig mer förståelse. https://www.emathhelp.net/calculators/calculus-2/simpsons-rule-calculator/?f=e%5E%28x%29%5E2&a=0&b=2&n=4&steps=on

Tack för hjälpen! Förstod med länken du skicka

Svara Avbryt
Close