Bestäm den slutna och begränsade yta som maximerar flödesintegral samt flödeintegralens värde. (Matematik/Universitet/Flervariabelanalys)

Använd Gauss sats. Dvs divergenssatsen.

PATENTERAMERA skrev:
Använd Gauss sats. Dvs divergenssatsen.

Varför just den och inte tex stokes sats? När man använder divergenssatsen , hur hittar man normalen N samt DS?

destiny99 skrev:
Varför just den och inte tex stokes sats? När man använder divergenssatsen , hur hittar man normalen N samt DS?

Läser också flervarren just nu, och är ingen lärare eller så men om jag fattat rätt är stokes sats applicerbar i en 2D tolkning av en flödesintegral (dvs en kurvintegral).

Stokes sats säger: $\oint F \cdot d r = \iint (\nabla \times F) \cdot d S$ .

Brukar komma ihåg att divergenssatsen (Gauss sats) är den enda som har med flödesintegraler i 3D att göra (alltså där flödesintegralen är en dubbelintegral, och inte en singelintegral som är en kurvintegral). Så om du ser den typen av flödesintegral ör Gauss den enda metoden man kan använda här (tror jag iallafall..).

Och när det gäller att hitta normalen så finns det 2 scenarion (vad jag kan iallafall) och dessa är:

$n = \nabla F (x, y, z) (o m F (x, y, x) = 0) n = r_{u} x r_{v} (o m d u h a r e n p a r a m e t r i s e r a d F (r (u, v))$

Jag vet inte om detta är rätt, men testa med att ta nabla F som en normal! Om inte det ger rätt, testa att parametrisera det med två variabler, och sedan ta de partiella derivatorna i r till hänsyn med båda variabler för sig.

När det gäller ds elementen så är det allt i ett tror jag, alltså;

För parametriserade ytor: dS = $r_{u} x r_{v} d A$ , alltså partiella derivatorna kryssat med varann och sen areaelementen, dx dy.

För ytor vi kan använda gradienten till som normalvektor: dS = $\hat{n} d A$ , alltså den normerade gradienten, och dx dy.

Något som också är bra att kunna är att veta att vid fall där gradienten används som normalvektorn ska den normeras så vi får en enhetsvektor. Vid andra fall, tex vid parametriserade kurvor, behövs det ingen normering.

Hoppas detta hjälper något. Kan ha fel vid vad jag säger. Tycker själv detta är relativt svårt..

Tillägg:

Med gauss sats behövs ju ingenting av detta!

Gauss sats säger:

$∯ F \cdot N d S = \iint \int_{}^{} \nabla \cdot F d V$

Så testa räkna divergensen div(F), och se om du kan ta dig därifrån!

naturar3 skrev:
destiny99 skrev:
Varför just den och inte tex stokes sats? När man använder divergenssatsen , hur hittar man normalen N samt DS?

Läser också flervarren just nu, och är ingen lärare eller så men om jag fattat rätt är stokes sats applicerbar i en 2D tolkning av en flödesintegral (dvs en kurvintegral).

Stokes sats säger: $\oint F \cdot d r = \iint (\nabla \times F) \cdot d S$ .

Brukar komma ihåg att divergenssatsen (Gauss sats) är den enda som har med flödesintegraler i 3D att göra (alltså där flödesintegralen är en dubbelintegral, och inte en singelintegral som är en kurvintegral). Så om du ser den typen av flödesintegral ör Gauss den enda metoden man kan använda här (tror jag iallafall..).

Och när det gäller att hitta normalen så finns det 2 scenarion (vad jag kan iallafall) och dessa är:

$n = \nabla F (x, y, z) (o m y \tan F (x, y, x) = 0) n = r_{u} x r_{v} (o m d u h a r e n p a r a m e t r i s e r a d y t a F (r (u, v))$

Jag vet inte om detta är rätt, men testa med att ta nabla F som en normal! Om inte det ger rätt, testa att parametrisera det med två variabler, och sedan ta de partiella derivatorna i r till hänsyn med båda variabler för sig.

När det gäller ds elementen så är det allt i ett tror jag, alltså;

För parametriserade ytor: dS = $r_{u} x r_{v} d A$ , alltså partiella derivatorna kryssat med varann och sen areaelementen, dx dy.

För ytor vi kan använda gradienten till som normalvektor: dS = $\hat{n} d A$ , alltså den normerade gradienten, och dx dy.

Något som också är bra att kunna är att veta att vid fall där gradienten används som normalvektorn ska den normeras så vi får en enhetsvektor. Vid andra fall, tex vid parametriserade kurvor, behövs det ingen normering.

Hoppas detta hjälper något. Kan ha fel vid vad jag säger. Tycker själv detta är relativt svårt..

Det här fick jag nu. Vad gör jag sen?

Bra!

Försök förenkla det uttryck du precis fått. Vad får du fram?

OBS: Kolla z termen vid 4z du fick efter z derivatan. Ska den vara där? (:

naturar3 skrev:
Bra!

Försök förenkla det uttryck du precis fått. Vad får du fram?

Jag får -3(x^2+y^2+z^2-4)

Bra! Du har kanske dock missat att addera fyrorna du fått i uttrycket. Gör det!

Nästa steg är att hitta gränserna, och vi måste kolla på funktionen så vi ser vilka gränser som finns.

Titta på uttrycket du fick fram, ser du något speciellt? Kanske i parantesen? Vilken kurva ser det ut att vara som?

naturar3 skrev:
Bra! Du har kanske dock missat att addera fyrorna du fått i uttrycket. Gör det!

Nästa steg är att hitta gränserna, och vi måste kolla på funktionen så vi ser vilka gränser som finns.

Titta på uttrycket du fick fram, ser du något speciellt? Kanske i parantesen? Vilken kurva ser det ut att vara som?

Jo jag adderade. Det där jag fick är rätt svar av förenkling. Det ser ut som ett klot. Hm gränserna vet jag inte riktigt hur vi ska hitta dem och vi har inte bestämt N

Jaha oj, då var det nog jag som var för snabb.. sorry! ):

Ja! Det skulle jag också säga. Och med klot har vi ju specifika parametrar vi kan använda oss av!

Sfäriska koordinater !!

Testa sätt x, y, z som sfäriska parametrar och se om du kan förenkla uttrycket och få fram några gränser (:

naturar3 skrev:
Jaha oj, då var det nog jag som var för snabb.. sorry! ):

Ja! Det skulle jag också säga. Och med klot har vi ju specifika parametrar vi kan använda oss av!

Sfäriska koordinater !!

Testa sätt x, y, z som sfäriska parametrar och se om du kan förenkla uttrycket och få fram några gränser (:

Sfäriska koordinater ser ut att kräva mkt jobb. Är cylindriska kanske inte bättre? Jag kan absolut använda sfäriska koordinater. Gränserna är väl 0 till 2, sen phi 0 till 2pi och theta 0 till pi?

Hajar det. Dem är jobbiga - men säg nu att vi använde cylindriska koordinater, då skulle vi haft elementen dr, d täta och dz. Vi vet ju inte riktigt vad dz är, visst? Så det skulle vart tufft att räkna ut den gränsen..

Man kan säkert göra det, men jag tror att sfäriska är enklare i detta fall just på grund av gränserna!

destiny99 skrev:Sfäriska koordinater ser ut att kräva mkt jobb. Är cylindriska kanske inte bättre? Jag kan absolut använda sfäriska koordinater. Gränserna är väl 0 till 2, sen phi 0 till 2pi och theta 0 till pi?

Ja! Eller iallafall såsom jag har uppfattat det.

Testa förenkla uttrycket nu ytterligare, och sen är trippelintegralen redo att beräknas!

OBS! Ta hänsyn till att jag använder "täta" som din phi. Du har rätt i det du säger (:

naturar3 skrev:
Hajar det. Dem är jobbiga - men säg nu att vi använde cylindriska koordinater, då skulle vi haft elementen dr, d täta och dz. Vi vet ju inte riktigt vad dz är, visst? Så det skulle vart tufft att räkna ut den gränsen..

Man kan säkert göra det, men jag tror att sfäriska är enklare i detta fall just på grund av gränserna!

destiny99 skrev:Sfäriska koordinater ser ut att kräva mkt jobb. Är cylindriska kanske inte bättre? Jag kan absolut använda sfäriska koordinater. Gränserna är väl 0 till 2, sen phi 0 till 2pi och theta 0 till pi?

Ja! Eller iallafall såsom jag har uppfattat det.

Testa förenkla uttrycket nu ytterligare, och sen är trippelintegralen redo att beräknas!

OBS! Ta hänsyn till att jag använder "täta" som din phi. Du har rätt i det du säger (:

Yes jag fick ut 256pi/5 vi behövde inte alls räkna ut normalen eller juste det stod ju nablaF DV

Ja!

Jag blev helt borta av själva flödesintegralen så jag glömde bort det viktigaste. Gauss sats.

Vid Gauss sats så räknar du inte ut normalen eller något annat. Nabla gånger F är inte samma sak som Nabla F, fastän det ser ut som det. Nabla gånger f (divergensen av F) är det du fick fram, dem partiella derivatorna plus varann. Vanliga gradienten, nabla F, är bara dem partiella derivatorna som element i ett vektorfält (df/dx, df/dy, df/dz). Så nej, ingen normalberäkning behövs med Gauss! (:

naturar3 skrev:
Ja!

Jag blev helt borta av själva flödesintegralen så jag glömde bort det viktigaste. Gauss sats.

Vid Gauss sats så räknar du inte ut normalen eller något annat. Nabla gånger F är inte samma sak som Nabla F, fastän det ser ut som det. Nabla gånger f (divergensen av F) är det du fick fram, dem partiella derivatorna plus varann. Vanliga gradienten, nabla F, är bara dem partiella derivatorna som element i ett vektorfält (df/dx, df/dy, df/dz). Så nej, ingen normalberäkning behövs med Gauss! (:

Yes jag förstod det mha lösningsförslaget. Tackar!

Ingen fara! Har själv flervarre tenta på måndag, haha. Lycka till!