Bestäm dess hastighet och vinkelacceleration som funktion av theta (Fysik/Universitet)

De två standardmetoderna för att ta fram dynamiska ekvationer är antingen genom kraft-ekvationen (Newtons 2a lag) eller genom analytisk mekanik genom att ställa upp ett uttryck för den mekaniska energin och sedan ta fram ekvationerna med Euler-Lagrange eller Hamilton-formlerna (eller genom naiv derivering av energiekvationen i fall där all information är inte behöver extraheras).

De geometriska sambanden är

$y = R\cos \theta$

$x = R \sin \theta$

$v = R \dot \theta = R \omega$

Dessa är bara standardvariabelbytena för polära koordinater anpassade till den aktuella geometrin och bör memoreras

Alt 1: Påbörjad med Analytisk mekanik:

Pärlan har tre energikomponenter (1) kinetisk energi (2) graviationell energi, och (3) elastisk energi.

Man ställer upp uttryck med $R$ , $\theta$ $\omega$ . Om vi låter $\ell$ vara den kavvikelsen från jämviktsläget längs så har vi enligt standardformlerna för elastisk energi att

$E_{el} = k(+\ell)^2/2 + k(-\ell)^2/2 = k \ell^2$

samt

$\ell = R \theta$

vilka kombineras till

$E_{el} = k R^2 \theta^2$

Sedan gör man samma sak för andra energierna och från energierna får man ut kinematiken. Lämnar det till dig.

Alt 2: Påbörjad medNewtonsk analys

Detta ger svaret snabbare men är krångligare

Placera en kula vid koordinaten $\theta$ . Fyra krafter verkar på pärlan. Eftersom pärlan är bunden till bågen så är den resulterande kraften längs bågen tangent och de ena krafterna som spelar roll för kinametiken är (1) tyngdkraftens tangentiala komposant (2) fjäderkrafternas återförande verkan.

Kraft (1) fås genom trigonometri och krafter (2) fås genom Hookes lag plus att avvikelsen från jämviktläget är $R \theta$ .

Ta denna resultant och sätt lika med

$F = ma$ med $a$ uttryckt i termer av $\omega = \dot \theta$ och du har svaret.

SeriousCephalopod skrev:
De två standardmetoderna för att ta fram dynamiska ekvationer är antingen genom kraft-ekvationen (Newtons 2a lag) eller genom analytisk mekanik genom att ställa upp ett uttryck för den mekaniska energin och sedan ta fram ekvationerna med Euler-Lagrange eller Hamilton-formlerna (eller genom naiv derivering av energiekvationen i fall där all information är inte behöver extraheras).

De geometriska sambanden är

$y = R\cos \theta$

$x = R \sin \theta$

$v = R \dot \theta = R \omega$

Dessa är bara standardvariabelbytena för polära koordinater anpassade till den aktuella geometrin och bör memoreras

Alt 1: Påbörjad med Analytisk mekanik:

Pärlan har tre energikomponenter (1) kinetisk energi (2) graviationell energi, och (3) elastisk energi.

Man ställer upp uttryck med $R$ , $\theta$ $\omega$ . Om vi låter $\ell$ vara den kavvikelsen från jämviktsläget längs så har vi enligt standardformlerna för elastisk energi att

$E_{el} = k(+\ell)^2/2 + k(-\ell)^2/2 = k \ell^2$

samt

$\ell = R \theta$

vilka kombineras till

$E_{el} = k R^2 \theta^2$

Sedan gör man samma sak för andra energierna och från energierna får man ut kinematiken. Lämnar det till dig.

Alt 2: Påbörjad medNewtonsk analys

Detta ger svaret snabbare men är krångligare

Placera en kula vid koordinaten $\theta$ . Fyra krafter verkar på pärlan. Eftersom pärlan är bunden till bågen så är den resulterande kraften längs bågen tangent och de ena krafterna som spelar roll för kinametiken är (1) tyngdkraftens tangentiala komposant (2) fjäderkrafternas återförande verkan.

Kraft (1) fås genom trigonometri och krafter (2) fås genom Hookes lag plus att avvikelsen från jämviktläget är $R \theta$ .

Ta denna resultant och sätt lika med

$F = ma$ med $a$ uttryckt i termer av $\omega = \dot \theta$ och du har svaret.

Jag känner inte att jag hänger med på din resonemang io m att jag läser bara mekanik I och ej mekanik II justnu. Jag tänker att friläggning där partikeln befinner sig vid högsta punkten vore en bra start. Vi har ju mg-N=ma samt F_f=kx

SeriousCephalopod skrev:
De två standardmetoderna för att ta fram dynamiska ekvationer är antingen genom kraft-ekvationen (Newtons 2a lag) eller genom analytisk mekanik genom att ställa upp ett uttryck för den mekaniska energin och sedan ta fram ekvationerna med Euler-Lagrange eller Hamilton-formlerna (eller genom naiv derivering av energiekvationen i fall där all information är inte behöver extraheras).

De geometriska sambanden är

$y = R\cos \theta$

$x = R \sin \theta$

$v = R \dot \theta = R \omega$

Dessa är bara standardvariabelbytena för polära koordinater anpassade till den aktuella geometrin och bör memoreras

Alt 1: Påbörjad med Analytisk mekanik:

Pärlan har tre energikomponenter (1) kinetisk energi (2) graviationell energi, och (3) elastisk energi.

Man ställer upp uttryck med $R$ , $\theta$ $\omega$ . Om vi låter $\ell$ vara den kavvikelsen från jämviktsläget längs så har vi enligt standardformlerna för elastisk energi att

$E_{el} = k(+\ell)^2/2 + k(-\ell)^2/2 = k \ell^2$

samt

$\ell = R \theta$

vilka kombineras till

$E_{el} = k R^2 \theta^2$

Sedan gör man samma sak för andra energierna och från energierna får man ut kinematiken. Lämnar det till dig.

Alt 2: Påbörjad medNewtonsk analys

Detta ger svaret snabbare men är krångligare

Placera en kula vid koordinaten $\theta$ . Fyra krafter verkar på pärlan. Eftersom pärlan är bunden till bågen så är den resulterande kraften längs bågen tangent och de ena krafterna som spelar roll för kinametiken är (1) tyngdkraftens tangentiala komposant (2) fjäderkrafternas återförande verkan.

Kraft (1) fås genom trigonometri och krafter (2) fås genom Hookes lag plus att avvikelsen från jämviktläget är $R \theta$ .

Ta denna resultant och sätt lika med

$F = ma$ med $a$ uttryckt i termer av $\omega = \dot \theta$ och du har svaret.

Där röda punkten har alltså dessa krafter.

ma_theta=mgcostheta-kRtheta

ma_r=mgsintheta-N

destiny99 skrev:
Där röda punkten har alltså dessa krafter.

ma_theta=mgcostheta-kRtheta

ma_r=mgsintheta-N

Typ. Fast för tangentialekvationen (ma_theta) borde väl det vara "mg sin theta" per mitt ögonmått och "-2kRtheta" eftersom varje fjäder individuellt har ett bidrag kR theta

a_theta kan även uttryckas mha R, och theta.

SeriousCephalopod skrev:
destiny99 skrev:
Där röda punkten har alltså dessa krafter.

ma_theta=mgcostheta-kRtheta

ma_r=mgsintheta-N

Typ. Fast för tangentialekvationen (ma_theta) borde väl det vara "mg sin theta" per mitt ögonmått och "-2kRtheta" eftersom varje fjäder individuellt har ett bidrag kR theta

a_theta kan även uttryckas mha R, och theta.

Jag vet inte hur du definierar din a_thetaoch a_r i figuren. Men jag ser inte hur mgsintheta tillhör a_thetanär den verkar i e_r riktning? Jag tänker mig såhär.

När det gäller -2kRtheta vet jag inte var faktor 2 kommer ifrån?

Man kan använda cylinderkoordinater för a_theta för att utteycka den med R och theta eller hur?

Din vinkel i blå triangeln är inte lika med täta utan är 90 - theta.

Se mitt alternativa diagram:

(lade till extra vinkel för tydlighet)

och du ser att tangenkomposanten är motstående till vinkeln som är lika med theta.

SeriousCephalopod skrev:
Din vinkel i blå triangeln är inte lika med täta utan är 90 - theta.

Se mitt alternativa diagram:

och du ser att tangenkomposanten är motstående till vinkeln som är lika med theta.

Varför är det så att det är 90-theta i min blåa figur? Jag vill gärna förstå detta. Sen vore det bra om du besvarade min fråga gällande fjäderkraften.

Vi har alla lite olika sätt att memorera vilka vinklar som är lika vid korsande parallella linjer. Jag förlänger första tyngdkraftslinjen och radielinjen i mitt huvud och sedan ser jag två vinklar som är likbelägna och därmed lika, och sedan har den likbelägna vinkeln en alternatvinkel vilket sedan är vinkeln jag använder för komposantuppdelningen

Att din vinklel inte är theta kommer från att två vinklar som tillsammans är 90 inte behöver vara lika

Dessa är bara lika i specialfallet om båda är 45 grader.

Du har två fjädrar. Vardera individuellt verkar med kl

Så tillsamman verkar de med 2kl

Jag tror jag lyckades lista ut varför det är 90-w och ej bara v som jag sa förut. Här är en bild nedan. w+v=90 och v är då 90-w vilket är logiskt.

SeriousCephalopod skrev:
Vi har alla lite olika sätt att memorera vilka vinklar som är lika vid korsande parallella linjer. Jag förlänger första tyngdkraftslinjen och radielinjen i mitt huvud och sedan ser jag två vinklar som är likbelägna och därmed lika, och sedan har den likbelägna vinkeln en alternatvinkel vilket sedan är vinkeln jag använder för komposantuppdelningen

Att din vinklel inte är theta kommer från att två vinklar som tillsammans är 90 inte behöver vara lika

Dessa är bara lika i specialfallet om båda är 45 grader.

Du har två fjädrar. Vardera individuellt verkar med kl

Så tillsamman verkar de med 2kl

Ok så det är 2kl för att man vill veta totala fjäderktaften eftersom kulan rör sig med kl upp till högsta punkten och sen kl därifrån till nedersta läget? Är Rtheta båglängden som är fjäderns förlängning från jämviktsläget?

Uppgiftslydelsen säger att det är två identiska fjädrar som båda är olastade i översta läget. Två fjädrar ger två krafter. Är inte mer komplicerat än så.

SeriousCephalopod skrev:
Uppgiftslydelsen säger att det är två identiska fjädrar som båda är olastade i översta läget. Två fjädrar ger två krafter. Är inte mer komplicerat än så.

Ja det gör dem. Men jag är inte övertygad om varför båda ska vara med. Förstår att det låter självklart för dig, men inte för mig iom att jag bara tog med en av fjäderkrafterna eftersom tanken var att vi rör oss från origo till översta läget med kl

Tillägg: 1 aug 2026 22:58

Jag antar att man ska ha med båda fjäder krafterna eftersom kulan rör sig hela vägen till nedersta läget vilket motsvarar två fjäderkrafter uppåt och nedåt.

En annan sak jag undrar över är om vinkeln w är alternatvinkel till theta som du markerade ibörjan i #7?

Tillägg: 1 aug 2026 22:49

Tolkar som att svaret är ja.