Bestäm det minsta värdet för absolut beloppet (Matematik/Matte 4)

Kan tänka så här ?

$|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{{(3 i)}^{2} + 7}$

Vad får du om du räknar ut det?

Laguna skrev:
Vad får du om du räknar ut det?

Så här

$|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{- 3 + 7} = \sqrt{4} = 2$

oj jag tror jag nog har gjort ett litet (slarv) fel

Det borde nog vara så här

$\sqrt{{(3 i)}^{2} + 7^{2}} = \sqrt{- 3 + 49} = \sqrt{46}$

Insåg nu att absolutbeloppet av $Z_{2}$ var redan givet

Prova att rita situationen i ett koordinatsystem.

Du har visat ett exempel på z₂, men det är inte då beloppet av summan är minst. Rita dit några tänkbara z₂ till.

Vad du räknar ut förstår jag inte, och dessutom är (3i)² inte -3.

Det här tycker jag är en viktig övning i att förstå att komplexa tal är vektorer.

Om man betraktar

Origo + z_1 = 0 + z_1

var hamnar man då i koordinatsystemet?

När man väl befinner sig där, skall man fundera på vad |z_2|=7 innebär geometriskt och rita denna "bild". Då får man alla tänkbara z_2 och kan besvara frågan.

Denna uppgift kräver lite tanke, men det är en bra uppgift, och man gör flera olika sådana IMO.

Hur ser grafen ut ?

Arup skrev:
Hur ser grafen ut ?

Vilka komplexa tal z uppfyller

|z| = R

där R är en positiv konstant?

Hur ligger alla dessa tal i det komplexa talplanet?

Har du sett svaret 4 i facit? Svaret är 4, men kan du visa vad vektorn z₂ är?

Är det inte 7 ?

Var har du beloppet 4 i diagrammet?

Ta cirkeln du har som visar möjliga z₂, och addera z₁. Då får du möjliga z₁+z₂. Hur ser det ut?

Jag ska fundera på din uppgift. Hör av mig om jag kommer på nåt bra

Om |z1| och |z2| har samma riktning blir max längd 10. Men om de har olika riktning blir längden 7-3, dvs 4.

Du skulle kunna rita en cirkel med utgångspunkt origo och radie 7. Lägg till 3 uppåt eller 3 neråt så får du 10 resp 4.

Är det sä här ?

Fick inspiration av en volontär

+3i förflyttar en cirkel med radien 7 3 steg upp

Sedan får man övertyga sig om att det vertikala avståndet till origo är det minsta avståndet.

Är det två cirklar eller en ?

två

blå = z2

gul = z1+z2

Var är vektorerna placerade ?

Man klarar den här uppgiften kanske enklare om man tänker på att absolutbeloppet av ett tal är avståndet från origo till talet.

För vanliga reella tal är det lätt att se: avståndet från noll (origo) till 28 är 28. Vi kan rita en pil från 0 till 28. Pilen har längden 28. Absolutbeloppet av 28 är 28.

På samma sätt är avståndet från noll (origo) till -28 lika med 28. Vi kan rita en pil från 0 till-28. Pilen har längden 28. Absolutbeloppet av -28 är 28.

För komplexa tal är det också lätt att se avståndet från origo. Absolutbeloppet av (3-4i) är 5. Vi kan rita en pil från origo till 3-4i. Pilen har längden 5. Det finns oändligt många komplexa tal med absolutbeloppet 5. De utgör en cirkel i komplexa talplanet.

I uppgiften har vi ett tal med absolutbeloppet 3 och ett annat med absolutbeloppet 7.

Vi ska alltså "gå" tre steg från origo i en riktning, och sedan sju steg i någon annan riktning.

För att komma så nära origo som möjligt får man gå åt motsatt håll, jämfört med de tre stegen. Det blir rakt nedåt, dvs -7i.

Jag har svårt att rita en bild som symboliserar vektrorerna

3i är en pil med längden 3, riktad "uppåt", riktad "norrut".

Ett tal med absolutbeloppet 7 är en pil med längden 7, riktad åt något håll.

Jag tänker att jag ritar en cirkel och en triangel går det sen att använda pythagora's sats för att hitta det minsta avståndet ?

Kan man göra så här ?

Det finns många ledtrådar ovan för hur man skall tänka geometriskt. Din senaste uträkning är i del rätt, men det förklarar inte hur du kommer fram till resultatet.

Kanske du skall prova en algebraisk metod? Sätt z1=a1+b1 i och z2=a2+b2 i och se vad du får.

Din bild i # 20 är väl en bra illustration

Arup skrev:
Din bild i # 20 är väl en bra illustration

Ja. Det gäller bara att övertyga sig om att -4 är det minsta värdet, men det är nog inte så svårt.

Du kan tänka dig att du ställer dig i punkten $z_1=3i$ .

Sedan ritar du en cirkel med radien 7 runt punkten. Då ser bilden ut så här:

Den röda cirkeln antar nu alla värden du kan nå genom att ta 7 steg bort från punkten $z_1=3i$ . Frågan är vilken av punkterna på cirkeln som ligger närmast origo?

Talets absolutbelopp $|z_2|=7$ innebär att "längden av vektorn" är 7 (den blå pilen). Vi vet inte åt vilket håll vektorn pekar, men vi kan säga att vinkeln är $\theta$ . Alltså är $z_1+z_2=3i+7e^{i\theta}$ . Målet är nu att bevisa att absolutbeloppet $|z_1+z_2|$ antar ett minimivärde för något val $\theta$ .

Kan man använda trigonometri ?

Ja, till exempel ska två geometriska villkor vara uppfyllda. Du letar efter den punkt som

1. Uppfyller den röda cirkelns ekvation

2. Avståndsformeln för avståndet mellan punkten och origo ska ge ett minimalt värde.

Det kommer visa sig att det är samma sak som att säga att absolutbeloppet av det komplexa talet ska anta ett minimalt värde på mängden av de tal som ligger på den röda cirkeln.

Hur tar jag reda på den röda cirkelns ekvation ?

Edit: Jag ber om ursäkt, det var inte du som skapade den tråden!

Läs igenom den här tråden och se om det kan hjälpa dig skapa en ekvation för en cirkel

https://www.pluggakuten.se/trad/bestam-cirkelns-ekvation-3/

Se om du kan använda ekvationen för avståndet mellan två komplexa tal (som bildar en cirkel)

$|z-z_0|=R$

som diskuteras i tråden. Det kommer visa sig att alla komplexa tal $z$ på den röda cirkeln ges av ekvationen

$|z-3i|=7$

Du vill också minimera avståndet till origo, dvs du söker $z$ så att absolutbeloppet $|z|$ minimeras givet det första villkoret. Det finns olika metoder att nå målet här, t.ex. att ansätta $z=a+ib$ och studera en kvadratisk form (matte 2), eller skriva om på polär form (om ni lärt er det!) och derivera :)

Edit: Kanske onödigt svårt, men har ni gått igenom triangelolikheten (och den "omvända" varianten)?

Det den här biten som jag har svårast för

Det finns en sats som kanske ingår i Matte 4 (jag har lite dålig koll på vad som ingår i kursen). Den heter triangelolikheten och säger att om du har två komplexa tal $z_1$ och $z_2$ så ska

$\left| |z_1|-|z_2| \right|\leq |z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|$

Om någon variant av den finns med i er formelsamling så kan du ju använda den :)

Den säger alltså att absolutbeloppet av SKILLNADEN MELLAN absolutbeloppen av två tal är MINDRE ÄN ELLER LIKA MED absolutbeloppet av summan av de två talen.

I ditt fall är $|z_1|=3$ och $|z_2|=7$ Alltså säger triangelolikheten att

$\left| |3|-|7|\right|\leq |z_1+z_2|$

$4\leq |z_1+z_2|$

Så det minsta värde $|z_1+z_2|$ kan anta är $4$ .

Men det här är kraftig överkurs om ni inte gått igenom triangelolikheten och det är nog inte tänkt att du ska kunna härleda den själv on the fly till den här uppgiften.