5 svar
65 visningar
Lisa Mårtensson är nöjd med hjälpen!
Lisa Mårtensson 602
Postad: 16 apr 2019

Bestäm determinanten (v+11w, w+3u, u+3v)

Jag skulle behöva lite hjälp för att komma igång med denna uppgift.

"Låt u, v, w vara de tre kolonnerna i en 3 x 3-matris A. Determinanten till matrisen A kan då betraktas som en funktion av u, v, w. Antag att det(u, v, w) = det(A) = 3. Bestäm det(v+11w, w+3u, u+3v)."

Jag antar att jag ska ställa upp ett ekvationssystem för att få fram determinanten?

Nja, du behöver egentligen inget ekvationssystem. Däremot behöver du komma ihåg räknereglerna för determinanter:

det(u+v, w, y)=det(u,w,y)+det(v,w,y). :) 

Lisa Mårtensson 602
Postad: 19 apr 2019 Redigerad: 19 apr 2019

Jag förstod inte riktigt det där. Skulle behöva mer hjälp på traven.

Jag läser om determinanter; om Sarrus regel, kofaktorutveckling och om vilka operationer man kan göra för att få en triangulär determinantmatris (med nollor i vänstra nedersta hörnet) där man kan räkna ut determinanten genom att multiplicera diagolalelementen.

Men jag har inte kommit till något avsnitt ännu som kan förklara hur jag ska tänka för att lösa denna uppgift.

Om du har en matris, A, med tre kolonnvektorer, u, v och w, men en av vektorerna är sammansatt av två vektorer, säg v=a+b, kan du konstruera två matriser, A1 och A2, där A1 består av kolonnvektorerna u, a, w, och A2 består av u, b, w. Om du behöver beräkna determinanten av A, kan du beräkna determinanten av A1 och determinanten av A2, och addera ihop dessa för att få determinanten av hela A. Du kan därmed separera det uttryck du fått, börja såhär:

det(v+11w, w+3u, u+3v)=det(v, w+3u, u+3v)+det(11w, w+3u, u+3v)

Upprepa nu denna process, tills du inte längre har några additionstecken. Då kan du börja bryta ut faktorer, och beräkna determinanten med hjälp av den information du fått i uppgiften. 

Lisa Mårtensson 602
Postad: 19 apr 2019 Redigerad: 19 apr 2019

...

= det(v, w, u+3v) + det(11w, 3u, u+3v)=

= det(v, w, u) + det(11w, 3u, 3v).

Är det rätt?

Nu vet jag att det(u, v, w) =det(A) = 3,

men betyder det att det(v, w, u) = 3? Kolonnerna är ju i annan ordning.

Sedan skulle jag bryta ut och bestämma den nya matrisen.

Jag utgår från att det(v, w, u) = 3 och då har jag först och främst 3.

Sedan bryter jag ut v, w, u ur det(11w, 3u, 3v). och då har jag ju brutit ut 3.

Därefter multiplicerar jag 3 med koefficienterna 11, 3 och 3 och adderar slutligen 3 från det(v, w, u).

3·11·3·3+3=300.

Svaret på uppgiften är att det(v+1w, w+3u, u+3v) är 300.

Jag är inte helt säker på om din utveckling är korrekt, eftersom alla steg inte är utskrivna, men vad det gäller kolonner i olika ordning finns det elementära matriser till hjälp. Metoden du använt ser i allmänhet korrekt ut. :)

Svara Avbryt
Close