Bestäm en bas för kerL och imL

Operatorn $L$ kan beskrivas som $L(p(x))=(x^5-x^4+x^3)p(x)$.

Låt $p(x)=a_0+a_1x+\dots+a_5x^5$ vara ett godtyckligt element i $V$ och bestäm $L(p(x))$, där du tar bort alla termer med grad 6 eller högre (vi räknar med andra ord modulo $x^6$).

Gustor skrev:

Operatorn $L$ kan beskrivas som $L(p(x))=(x^5-x^4+x^3)p(x)$.

Låt $p(x)=a_0+a_1x+\dots+a_5x^5$ vara ett godtyckligt element i $V$ och bestäm $L(p(x))$, där du tar bort alla termer med grad 6 eller högre (vi räknar med andra ord modulo $x^6$).

Du borde få något i stil med $L(p(x))=a_0x^3-a_0x^4+(a_0-a_1)x^5$.

Ett polynom $p$ ligger i $\ker L$ om $L(p(x))=0$, dvs. om 

$a_0x^3-a_0x^4+(a_0-a_1)x^5=0$.

Om vi kollar på koefficienterna innebär detta att $a_0=0$ och $a_1=0$.

Det betyder att $p\in \ker L$ om $p(x)=a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5$, dvs. om $p$ saknar konstantterm och term av grad 1.

En bas för sådana polynom är $\{x^2,x^3,x^4,x^5\}$.

 

För b), notera att 

$L(p(x))=a_0x^3-a_0x^4+(a_0-a_1)x^5 = a_0(x^3-x^4+x^5) +a_1x^5$.

Vi ser att $L(p(x))$ är en linjär kombination av polynomen $x^3-x^4+x^5$ och $x^5$.

Dessa två polynom är linjärt oberoende (varför?). Därför är en bas till bildrummet

$\{x^3-x^4+x^5,x^5\}$.

Nu har du gett mig hela lösningen vilket är lite synd för jag ville typ försöka själv genom att be om vägledning. 

Ah, jag ber om ursäkt. Idéen är i alla fall att titta på vad som händer med ett godtyckligt polynom när det mappas via L.

Gustor skrev:

Ah, jag ber om ursäkt. Idéen är i alla fall att titta på vad som händer med ett godtyckligt polynom när det mappas via L.

Ingen fara!

1)Vad menar du med när det mappas via L?

2) jag förstår att L är en linjär avbildning funktion som tar in polynom av grad 5 i V och ger ut polynom. Jag antar det är vad man menar med att det definieras av multiplikation med polynomet ?

Du kan även sätta upp avbildningens matris relativt tex standardbasen och radreducera matrisen till normalform och identifiera baserna från den radreducerade matrisen - en standardmetod.

PATENTERAMERA skrev:

Du kan även sätta upp avbildningens matris relativt tex standardbasen och radreducera matrisen till normalform och identifiera baserna från den radreducerade matrisen - en standardmetod.

Menar du avbildningsmatrisen L(p(x)) ? När du säger relativt standardbasen , menar du att jag ska sätta L(p(x)) och sätta | med identitetsmatrisen för att gaus, om det är så varför ska man göra så? 

Om du har en avbildningsmatris så finns det en standardmetod för att bestämma baser för im och ker från den radreducerade normalformen. Läs på om detta.