Bestäm en explicit formel för triangeltal nr n
jag har svårt att bestämma a) och b) ur figuren. Har ni någon ledtråd? Differensen är ej konstant för en aritmetisk eller geometrisk.
Ett sätt att ge sig på fråga a) är att gissa att formeln är ett polynom med heltalskoefficienter, eftersom du ska stoppa in ett heltal och få ut ett heltal. Det kan inte vara ett förstagradspolynom (Tn = an + b), för det skulle betyda en linjär ökning. Då får man testa med ett andragradspolynom (Tn = an2 + bn + c). Sätt in värdena för n = 1, 2 och 3 och gör ett ekvationssystem. Får du en formel som kan användas för att bestämma T4?
Om detta inte funkar får man testa ett tredjegradspolynom med samma metod.
Att svara på b) är lättare tycker jag! När du bygger triangel n lägger du till en ny nedresta rad till den förra. Hur många kulor är det i triangel n:s nedersta rad?
SvanteR skrev:Ett sätt att ge sig på fråga a) är att gissa att formeln är ett polynom med heltalskoefficienter, eftersom du ska stoppa in ett heltal och få ut ett heltal. Det kan inte vara ett förstagradspolynom (Tn = an + b), för det skulle betyda en linjär ökning. Då får man testa med ett andragradspolynom (Tn = an2 + bn + c). Sätt in värdena för n = 1, 2 och 3 och gör ett ekvationssystem. Får du en formel som kan användas för att bestämma T4?
Om detta inte funkar får man testa ett tredjegradspolynom med samma metod.
Att svara på b) är lättare tycker jag! När du bygger triangel n lägger du till en ny nedresta rad till den förra. Hur många kulor är det i triangel n:s nedersta rad?
Jag har faktiskt ingen aning i b) uppgiften. Hur ska vi börja i a) ? Jag är ej helt med där.
För b-uppgiften behöver man bara titta på bilden.Man tar den förra bilden och lägger till en rad till. Denna rad blir en kula längre för varje steg.
T1 = 1. T2 = T1+2. T3 = T2+3. T4 = T3 + 4. Ser du mönstret?
Är du med på att man kan dra en diagonal i en rektangel och få två trianglar?
I min otroligt fula bild har jag tagit trianglen där n=3, puttat lite på den, samt lagt en likadan (upp och ned) bredvid. Halva rektangeln består då av svarta bollar och halva av röda.
Vad är arean för rektangeln uttryckt i n? De svarta måste då vara halva den arean, eller hur?
Smaragdalena skrev:För b-uppgiften behöver man bara titta på bilden.Man tar den förra bilden och lägger till en rad till. Denna rad blir en kula längre för varje steg.
T1 = 1. T2 = T1+2. T3 = T2+3. T4 = T3 + 4. Ser du mönstret?
Jag tror det blir Tn+n kanske i b)?
Nästan. Det är ju Tn man vill få fram, och "förra triangeln" är inte Tn utan ...
Smaragdalena skrev:Nästan. Det är ju Tn man vill få fram, och "förra triangeln" är inte Tn utan ...
Hm ingen aning. Om ena triangel började med 1 och sen ökade till 3 så är det Tn+2?
Om du vill göra triangel nummer 2 så tar du triangel nummer 1 och lägger till 2. Om du vill göra triangel nummer 3 så tar du triangel nummer 2 och lägger till 3. Om du vill göra triangel nummer 4 så tar du triangel nummer 3 och lägger till 4. Om du vill göra triangel nummer n ...
Smaragdalena skrev:Om du vill göra triangel nummer 2 så tar du triangel nummer 1 och lägger till 2. Om du vill göra triangel nummer 3 så tar du triangel nummer 2 och lägger till 3. Om du vill göra triangel nummer 4 så tar du triangel nummer 3 och lägger till 4. Om du vill göra triangel nummer n ...
så triangel nummer n+n ?
Nej, inte triangel nummer n, det är du den du vill räkna ut, utan den förra triangeln! Vilket nummer har triangeln som kommer före triangel nummer n?
Smaragdalena skrev:Nej, inte triangel nummer n, det är du den du vill räkna ut, utan den förra triangeln! Vilket nummer har triangeln som kommer före triangel nummer n?
hm n-1? Jag är ganska förvirrad så du vet.
Javisst. Tn = Tn-1+n.
Smaragdalena skrev:Javisst. Tn = Tn-1+n.
Ja
På a-uppgiften:
Tänk dig att det är ett polynom. Om det till exempel är ett andragradspolynom så kan du skriva det som
Tn = an2 + bn + c Då blir:
T1 = a*12 + b*1 + c = 1
T2 = a*42 + b*2 + c = 3
T3 = a*32 + b*3 + c = 6
Detta blir ett ekvationssystem som ser ut så här:
a + b + c = 1
4a + 2b + c = 3
9a + 3b + c = 6
Om du löser det får du värden på a, b och c. Sedan är det inte säkert att det verkligen är ett andragradspolynom! Det får du veta genom att testa om du kan använda din formel till T4. Om det inte funkar får du gå vidare och testa med ett tredjegradspolynom i stället.
SvanteR skrev:På a-uppgiften:
Tänk dig att det är ett polynom. Om det till exempel är ett andragradspolynom så kan du skriva det som
Tn = an2 + bn + c Då blir:
T1 = a*12 + b*1 + c = 1
T2 = a*42 + b*2 + c = 3
T3 = a*32 + b*3 + c = 6
Detta blir ett ekvationssystem som ser ut så här:
a + b + c = 1
4a + 2b + c = 3
9a + 3b + c = 6
Om du löser det får du värden på a, b och c. Sedan är det inte säkert att det verkligen är ett andragradspolynom! Det får du veta genom att testa om du kan använda din formel till T4. Om det inte funkar får du gå vidare och testa med ett tredjegradspolynom i stället.
Okej men varför funkar ej förstagradspolynom? Hur vet man att det ej går? Jag vill bara förstå innan jag ger mig på andragradspolynom.
Ett förstagradspolynom skulle innebära att man adderar samma tal hela tiden. Du kan se på bilderna att detta inte stämmer, eftersom man adderar 2, 3, 4 och så vidare.
Det skulle betyda att följden är aritmetisk, vilket du själv konstaterade att den inte är.
SvanteR skrev:På a-uppgiften:
Tänk dig att det är ett polynom. Om det till exempel är ett andragradspolynom så kan du skriva det som
Tn = an2 + bn + c Då blir:
T1 = a*12 + b*1 + c = 1
T2 = a*42 + b*2 + c = 3
T3 = a*32 + b*3 + c = 6
Detta blir ett ekvationssystem som ser ut så här:
a + b + c = 1
4a + 2b + c = 3
9a + 3b + c = 6
Om du löser det får du värden på a, b och c. Sedan är det inte säkert att det verkligen är ett andragradspolynom! Det får du veta genom att testa om du kan använda din formel till T4. Om det inte funkar får du gå vidare och testa med ett tredjegradspolynom i stället.
Jag fick a=1/2 , b=1/2 samt c=0
Smaragdalena skrev:Ett förstagradspolynom skulle innebära att man adderar samma tal hela tiden. Du kan se på bilderna att detta inte stämmer, eftersom man adderar 2, 3, 4 och så vidare.
Ok
Laguna skrev:Det skulle betyda att följden är aritmetisk, vilket du själv konstaterade att den inte är.
Aa jo
T_4 stämmer. Betyder det nu att jag har en formeln för a) 1/2n^2+1/2n?
destiny99 skrev:T_4 stämmer. Betyder det nu att jag har en formeln för a) 1/2n^2+1/2n?
Om du menar så stämmer det utmärkt. Jag tänker själv "triangel är halv rektangel" och .
