Bestäm en funktion vars fouriertransform är lika med f(w)

I uppgiften 4b söker man $g{(x)} = \mathcal{F}^{-1}[{f(\omega)}]{(x)}$.

Utnyttja sambandet mellan fouriertransformen och inversa fouriertransformen. Det gäller ganska allmänt att $\mathcal{F}^{-1}[f](x) = 2\pi \mathcal{F}[f](-x)$.

Funktionen $\mathcal{F}[f]$ beräknades i 4a.

LuMa07 skrev:

I uppgiften 4b söker man $g{(x)} = \mathcal{F}^{-1}[{f(\omega)}]{(x)}$.

Utnyttja sambandet mellan fouriertransformen och inversa fouriertransformen. Det gäller ganska allmänt att $\mathcal{F}^{-1}[f](x) = 2\pi \mathcal{F}[f](-x)$.

Funktionen $\mathcal{F}[f]$ beräknades i 4a.

Vi vet att F(w) är detta nedan. Så dess invers är väl bara samma fast utbytt med argumentet x? Om inte kan man utnyttja F[F[f](x)=1/2pif(-x)

destiny99 skrev:

Vi vet att F(w) är detta nedan. Så dess invers är väl bara samma fast utbytt med argumentet x?

Ja, fast det är -x som sätts in.

Om inte kan man utnyttja F[F[f](x)=1/2pif(-x)

Detta funkar också - man får samma slutsats. Man söker nämligen funktionen $g$ sådan att

$\mathcal{F}[g(x)](\omega) = f(\omega)$.

När $\mathcal{F}$ tillämpas på båda sidorna av denna likhet, så fås sambandet

$\underbrace{\mathcal{F}[\mathcal{F}[g]](t)}_{=g(-t)/2\pi} = \mathcal{F}{[f](t)}$

vilket ger (genom att sätta $t = -x$) att

$g(x) = 2\pi \,\mathcal{F}{[f](-x)} = 2\pi\,F(-x)$

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

Vi vet att F(w) är detta nedan. Så dess invers är väl bara samma fast utbytt med argumentet x?

Ja, fast det är -x som sätts in.

Om inte kan man utnyttja F[F[f](x)=1/2pif(-x)

Detta funkar också - man får samma slutsats. Man söker nämligen funktionen $g$ sådan att

$\mathcal{F}[g(x)](\omega) = f(\omega)$.

När $\mathcal{F}$ tillämpas på båda sidorna av denna likhet, så fås sambandet

$\underbrace{\mathcal{F}[\mathcal{F}[g]](t)}_{=g(-t)/2\pi} = \mathcal{F}{[f](t)}$

vilket ger (genom att sätta $t = -x$) att

$g(x) = 2\pi \,\mathcal{F}{[f](-x)} = 2\pi\,F(-x)$

Jag har svårt att hänga med på denna rad. Sen förstår jag inte varför du inte kan ha samma variabler hela vägen och behålla x istället för att byta till t. Det blir läsbart och förståelig för mig. 

Vad är det som är svårt, egentligen?

Startpunkt: Söker $g(x)$ så att $\mathcal{F}[g(x)](\omega)= f(\omega)$.

Fouriertransformera båda leden i likheten $VL(\omega) = HL(\omega)$, vilket ger att $\mathcal{F}[VL(\omega)](t) = \mathcal{F}[HL(\omega)](t)$, d.v.s.

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g(x)](\omega)](t) = \mathcal{F}[f(\omega)](t)$

Man kan säkert skriva variabeln ${\color[rgb]{0, 0, 1}x}$ istället för hjälpvariabeln $t$ i denna rad, men det kan bli lite otydlig notation eftersom variabeln ${\color[rgb]{1, 0, 0}x}$ redan står innanför $g$ i inre fouriertransformen:

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g({\color[rgb]{1, 0, 0}x})](\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x}) = \mathcal{F}[f(\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x})$

Symbolen ${\color[rgb]{1, 0, 0}x}$ innanför inre Fouriertransformen skulle alltså betyda något annat än ${\color[rgb]{0, 0, 1}x}$ för yttre fouriertransformen. För att slippa en sådan tvetydighet hos symbolen $x$, så kan man helt enkelt skriva $g$ i inre fouriertransformen utan någon variabel och låta det vara underförstått vad som menas med det:

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g](\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x}) = \mathcal{F}[f(\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x})$

eller inte alls skriva ut variabler inuti fouriertransformerna:

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g]]({\color[rgb]{0, 0, 1}x}) = \mathcal{F}[f]({\color[rgb]{0, 0, 1}x})$

där HL beräknats i deluppgiften 4a, d.v.s. $HL = F{({\color[rgb]{0, 0, 1}x})} = \dfrac{2i\sin(\pi {\color[rgb]{0, 0, 1}x})}{{\color[rgb]{0, 0, 1}x}^2-1}$

Nu får man tänka på att $\mathcal{F}[\mathcal{F}[g]](x) = g(-x) / (2\pi)$. Det är dock g(x) (och inte g(-x)) som man vill ta fram. Syftet med att använda sig av en hjälpvariabel är att undvika onödiga teckenfel eftersom man annars behöver byta ut -x mot x i likheten man fått.

Vill du utnyttja räknelagen "F[F[f](x)=1/2pif(-x)" som du själv nämnt i #3 på något annat sätt, så får du jättegärna göra det, det funkar säkert också bra.

LuMa07 skrev:

Vad är det som är svårt, egentligen?

Startpunkt: Söker $g(x)$ så att $\mathcal{F}[g(x)](\omega)= f(\omega)$.

Fouriertransformera båda leden i likheten $VL(\omega) = HL(\omega)$, vilket ger att $\mathcal{F}[VL(\omega)](t) = \mathcal{F}[HL(\omega)](t)$, d.v.s.

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g(x)](\omega)](t) = \mathcal{F}[f(\omega)](t)$

---

Man kan säkert skriva variabeln ${\color[rgb]{0, 0, 1}x}$ istället för hjälpvariabeln $t$ i denna rad, men det kan bli lite otydlig notation eftersom variabeln ${\color[rgb]{1, 0, 0}x}$ redan står innanför $g$ i inre fouriertransformen:

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g({\color[rgb]{1, 0, 0}x})](\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x}) = \mathcal{F}[f(\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x})$

Symbolen ${\color[rgb]{1, 0, 0}x}$ innanför inre Fouriertransformen skulle alltså betyda något annat än ${\color[rgb]{0, 0, 1}x}$ för yttre fouriertransformen. För att slippa en sådan tvetydighet hos symbolen $x$, så kan man helt enkelt skriva $g$ i inre fouriertransformen utan någon variabel och låta det vara underförstått vad som menas med det:

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g](\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x}) = \mathcal{F}[f(\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x})$

eller inte alls skriva ut variabler inuti fouriertransformerna:

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g]]({\color[rgb]{0, 0, 1}x}) = \mathcal{F}[f]({\color[rgb]{0, 0, 1}x})$

där HL beräknats i deluppgiften 4a, d.v.s. $HL = F{({\color[rgb]{0, 0, 1}x})} = \dfrac{2i\sin(\pi {\color[rgb]{0, 0, 1}x})}{{\color[rgb]{0, 0, 1}x}^2-1}$

Nu får man tänka på att $\mathcal{F}[\mathcal{F}[g]](x) = g(-x) / (2\pi)$. Det är dock g(x) (och inte g(-x)) som man vill ta fram. Syftet med att använda sig av en hjälpvariabel är att undvika onödiga teckenfel eftersom man annars behöver byta ut -x mot x i likheten man fått.

---

Vill du utnyttja räknelagen "F[F[f](x)=1/2pif(-x)" som du själv nämnt i #3 på något annat sätt, så får du jättegärna göra det, det funkar säkert också bra.

Ja absolut men du gör detta i många steg med härledningar vilket förvirrar för jag vill bara spara tid som du förstår och komma på ett sätt att ta mig runt uppgiften utan att spendera 20 min så att andra frågor får liksom rättvis med tid. 

Men ok. Om man utnyttjar som jag tänkte så får man alltså vad f(-x) är dvs sökta f(x)? Det är i alla fall den jag tänkte använda. Mer än så kommer jag inte på. 

Det blir i alla fall 2pif(-x)={-2pisinx ,-pi<x<pi

0 annars 

såhär gjorde facit. Jag gjorde som de ibörjan men sen förstår jag inte deras vidare härledning efter eller osv. Jag upplever detta som något väldigt svårt när man ska översätta rätt.  Det här var långt ifrån hur jag tänkte mig att svaret skulle se ut. Jag har väldigt svårt för såna frågor.

LuMa07 skrev:

Vad är det som är svårt, egentligen?

Startpunkt: Söker $g(x)$ så att $\mathcal{F}[g(x)](\omega)= f(\omega)$.

Fouriertransformera båda leden i likheten $VL(\omega) = HL(\omega)$, vilket ger att $\mathcal{F}[VL(\omega)](t) = \mathcal{F}[HL(\omega)](t)$, d.v.s.

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g(x)](\omega)](t) = \mathcal{F}[f(\omega)](t)$

---

Man kan säkert skriva variabeln ${\color[rgb]{0, 0, 1}x}$ istället för hjälpvariabeln $t$ i denna rad, men det kan bli lite otydlig notation eftersom variabeln ${\color[rgb]{1, 0, 0}x}$ redan står innanför $g$ i inre fouriertransformen:

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g({\color[rgb]{1, 0, 0}x})](\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x}) = \mathcal{F}[f(\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x})$

Symbolen ${\color[rgb]{1, 0, 0}x}$ innanför inre Fouriertransformen skulle alltså betyda något annat än ${\color[rgb]{0, 0, 1}x}$ för yttre fouriertransformen. För att slippa en sådan tvetydighet hos symbolen $x$, så kan man helt enkelt skriva $g$ i inre fouriertransformen utan någon variabel och låta det vara underförstått vad som menas med det:

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g](\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x}) = \mathcal{F}[f(\omega)]({\color[rgb]{0, 0, 1}x})$

eller inte alls skriva ut variabler inuti fouriertransformerna:

$\mathcal{F}[\mathcal{F}[g]]({\color[rgb]{0, 0, 1}x}) = \mathcal{F}[f]({\color[rgb]{0, 0, 1}x})$

där HL beräknats i deluppgiften 4a, d.v.s. $HL = F{({\color[rgb]{0, 0, 1}x})} = \dfrac{2i\sin(\pi {\color[rgb]{0, 0, 1}x})}{{\color[rgb]{0, 0, 1}x}^2-1}$

Nu får man tänka på att $\mathcal{F}[\mathcal{F}[g]](x) = g(-x) / (2\pi)$. Det är dock g(x) (och inte g(-x)) som man vill ta fram. Syftet med att använda sig av en hjälpvariabel är att undvika onödiga teckenfel eftersom man annars behöver byta ut -x mot x i likheten man fått.

---

Vill du utnyttja räknelagen "F[F[f](x)=1/2pif(-x)" som du själv nämnt i #3 på något annat sätt, så får du jättegärna göra det, det funkar säkert också bra.

Kan vi inte använda min metod i#3 så jag får se hur den kan lösas i denna uppgift? Jag får tyvärr inte rätt när jag använder den. Jag började med

F[g(x)](w)=F(w) då vi söker en funktion g(x) vars fouriertransformen är lika med f(w). Men sen när jag sätter fouriertransform på båda sidor så kör jag fast och blir typ snurrig.

F[F[g(x)]](w)=F[f(x)](w)

destiny99 skrev:

Kan vi inte använda min metod i#3 så jag får se hur den kan lösas i denna uppgift? Jag får tyvärr inte rätt när jag använder den. Jag började med

F[g(x)](w)=F(w) då vi söker en funktion g(x) vars fouriertransformen är lika med f(w). Men sen när jag sätter fouriertransform på båda sidor så kör jag fast och blir typ snurrig.

F[F[g(x)]](w)=F[f(x)](w)

Skriv om vänsterledet i likheten "F[F[g(x)]](w)=F[f(x)](w)" enligt räknelagen "F[F[f](x)=1/2pif(-x)" fast funktionen heter g och variabeln heter w

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

Kan vi inte använda min metod i#3 så jag får se hur den kan lösas i denna uppgift? Jag får tyvärr inte rätt när jag använder den. Jag började med

F[g(x)](w)=F(w) då vi söker en funktion g(x) vars fouriertransformen är lika med f(w). Men sen när jag sätter fouriertransform på båda sidor så kör jag fast och blir typ snurrig.

F[F[g(x)]](w)=F[f(x)](w)

Skriv om vänsterledet i likheten "F[F[g(x)]](w)=F[f(x)](w)" enligt räknelagen "F[F[f](x)=1/2pif(-x)" fast funktionen heter g och variabeln heter w

1)jag förstår att variabeln i HL är liksom att vi ska spotta ut f(w) men VL förstår jag inte varför variabeln där är w och inte x. 

2) när jag skriver om VL till räknelagen för invers får jag då 1/2pif(-x). Men då blir det F[[F(g(x)]](w)=1/2pif(-x)=F[f(x)](w)

Man måste vara konsekvent. Räknelagen i "grundform" lyder "${\mathcal{F}[\mathcal{F}[f]](x)}=\dfrac{1}{2\pi}{f(-x)}$".

• Om funktionen heter g, så lyder räknelagen "${\mathcal{F}[\mathcal{F}[{\color[rgb]{0, 0, 1}g}]](x)}=\dfrac{1}{2\pi}{{\color[rgb]{0, 0, 1}g}(-x)}$"
• Om dessutom variabeln heter ω, så lyder räknelagen "${\mathcal{F}[\mathcal{F}[{\color[rgb]{0, 0, 1}g}]]({\color[rgb]{0, 0.6, 0}\omega})}=\dfrac{1}{2\pi}{{\color[rgb]{0, 0, 1}g}(-{\color[rgb]{0, 0.6, 0}\omega})}$"

LuMa07 skrev:

Man måste vara konsekvent. Räknelagen i "grundform" lyder "${\mathcal{F}[\mathcal{F}[f]](x)}=\dfrac{1}{2\pi}{f(-x)}$".

• Om funktionen heter g, så lyder räknelagen "${\mathcal{F}[\mathcal{F}[{\color[rgb]{0, 0, 1}g}]](x)}=\dfrac{1}{2\pi}{{\color[rgb]{0, 0, 1}g}(-x)}$"
• Om dessutom variabeln heter ω, så lyder räknelagen "${\mathcal{F}[\mathcal{F}[{\color[rgb]{0, 0, 1}g}]]({\color[rgb]{0, 0.6, 0}\omega})}=\dfrac{1}{2\pi}{{\color[rgb]{0, 0, 1}g}(-{\color[rgb]{0, 0.6, 0}\omega})}$"

Ok. Men jag fattar inte varför vi skall ha en variabel w i din andra punkt? Det låter som du vill att jag ska skriva så men jag begriper inte varför. Jag trodde vi var ute efter räknelagen med första punkten där variabeln är x. Vi är ju ute efter en funktion g(x). 

destiny99 skrev:

Ok. Men jag fattar inte varför vi skall ha en variabel w i din andra punkt? Det låter som du vill att jag ska skriva så men jag begriper inte varför. ...

Nej, det vill jag absolut inte. Sådant har du skrivit i #9 i sista raden där du angett vad du själv kommit fram till. Jag fortsatte bara från det du själv använt eftersom du inte ville använda den beteckning som jag föreslagit i tidigare inlägg.

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

Ok. Men jag fattar inte varför vi skall ha en variabel w i din andra punkt? Det låter som du vill att jag ska skriva så men jag begriper inte varför. ...

Nej, det vill jag absolut inte. Sådant har du skrivit i #9 i sista raden där du angett vad du själv kommit fram till. Jag fortsatte bara från det du själv använt eftersom du inte ville använda den beteckning som jag föreslagit i tidigare inlägg.

Ja ok. Men nu är det så att jag förstår inte varför variabeln ska vara w och inte x. Mina frågor i #11 besvarades inte riktigt. Jag accepterar det du skrev i #12. Men jag vill gärna skriva det här:

F[F[f]](x)=1/2pif(-x) och sen vet vi ju att f(x) är ju g(x) i vårt fall. Då blir det bara F[F[g]](x)=1/2pig(-x). Sen har vi ett annat problem då vi hade F[f](w) =F(w) i #9 och där måste vi matcha med vänsterledets variabel där x blir nu w. Jag antar det är du försökte förklara? Sen tror jag att variabeln måste vara w i VL för att vi tar fouriertransform av något 

Jag vet inte hur många omskrivningar jag måste göra för att komma fram till samma svar som facit. Här är mitt försök till slut. Obs jag glömde att lägga till pi i nämnaren och råkade lägga till en tvåa i täljaren. 

Om svaret inte är rätt pga variabeln w så måste man byta det mot x i början. Frågan är varför? Varför är det som jag fick i #16 felaktigt? Det har gått en hel dag och har fortfarande inte fått uppgiften löst. Kommer ej vidare än det jag fått i #16

Bump

destiny99 skrev:

Jag vet inte hur många omskrivningar jag måste göra för att komma fram till samma svar som facit. Här är mitt försök till slut. Obs jag glömde att lägga till pi i nämnaren och råkade lägga till en tvåa i täljaren. 

Om man byter ut w mot x så får man att -w=x=> w=-x. Har man då kommit fram till rätt f(x) som söks? Det är i alla fall vad AI har gjort.