Bestäm ett argument av z = 1 / (1+2iw)^2

För godtyckligt z gäller arg(1/z) = - arg(z) och arg (z² )= 2arg z. Jag sätter z= 1+2iw och betecknar  arg(z) med svenskt t (har inte grekiska bokstäver). Då är tan(t)= 2w/1 = 2w som ger t = arctan(2w). Med ovan nämnda regler erhålles det önskade resultatet. (Återkommer ev när jag sett vad du kan ha gjort för misstag)

Tomten skrev:

För godtyckligt z gäller arg(1/z) = - arg(z) och arg (z² )= 2arg z. Jag sätter z= 1+2iw och betecknar  arg(z) med svenskt t (har inte grekiska bokstäver). Då är tan(t)= 2w/1 = 2w som ger t = arctan(2w). Med ovan nämnda regler erhålles det önskade resultatet. (Återkommer ev när jag sett vad du kan ha gjort för misstag)

Tack! Jag hade helt glömt av räknelagarna för argument. Jag gick på strategin att förlänga med konjugatet till (1+2iw) två gånger och sedan nyttja kommutativitet i nämnaren: (1+2iw)(1+2iw)(1-2iw)(1-2iw) = (1+2iw)(1-2iw)(1+2iw)(1-2iw) = (1+4w²)².

$\Rightarrow z=\hspace{0.17em}\frac{{(1-2iw)}^2}{{(1+4w^2)}^2} =\hspace{0.17em}\frac{1-4w^2-4iw}{{(1+4w^2)}^2}$

sedan identifierade jag real- respektive imaginärdel:

$$\begin{gathered} a =\hspace{0.17em}\frac{1-4w^2}{{(1+4w^2)}^2} \\ b = \frac{-4w}{{(1+4w^2)}^2} \end{gathered}$$

Därefter beräknade jag argumentet $\theta$ enligt $\theta =arc\tan (b/a) =arc\tan (\hspace{0.17em}\frac{{\displaystyle \frac{-4w}{{(1+4w^2)}^2}}}{\frac{1-4w^2}{{(1+4w^2)}^2}})=arc\tan \left(\frac{-4w}{1-4w^2}\right)$

Men nånstans där på vägen tycks det ju bli fel och jag lyckas inte identifiera var.

Argumentet är inte nödvändigtvis

arg(z) = arctan(Im(z)/Re(z))

utan det beror på vilken kvadrant z ligger i. 

Se t.ex Wikipedia. 

Jag fick också svaret till $\theta =arc\tan \left(\frac{-4w}{1-4w^2}\right)$, jag vet att man kan förenkla det till -$arc\tan \left(\frac{4w}{(1+2w)(1-2w)}\right)$

Men det verkar inte hjälpa så mycket.

Det är inte "bara att ta arctan". 

Tänk på att argumentet har värden t.ex mellan -π och π för att täcka in alla komplexa tal. 

Om man "bara tar arctan" så får man en vinkel med storlek 

-π/2 < arctan(θ) < π/2

Rent genetiskt kommer den vinkeln inte heller alltid att räknas från positiv reell axel, utan det beror på vilken kvadrant det komplexa talet ligger i. Om man korrigerar för kvadranten (t.ex med atan2) så blir det rätt. 

Tomtens metod är för övrigt väldigt smidig.