6 svar
38 visningar
Kovac är nöjd med hjälpen!
Kovac 88
Postad: 30 okt 2020 Redigerad: 30 okt 2020

Bestäm fmax,fmin i kompakt område (kolla randpunkter) flervariabelanalys

Det är en sak jag inte fattar med denna uppgiften.

" Bestäm största och minsta värdet av funktionen f(x,y)=xy2-x2-y i området D:0x1,0y2 ". Området D är en rektangel som ses. Först ska man kolla f'y och f'x av funktionen f(x,y) för stationära punkter vilket jag gjort. Sedan när det kommer till randpunkter förstår jag inte en sak.

T.ex om vi undersöker den nedersta delen av rektangeln, f(x,0)= -x^2,  för stationära punkter så saknas dessa för området D: 0<=x<=1. Varför då? Tar vi derivatan får vi -2x=0 vilket x=0 ger en lösning. Varför är inte denna lösning valid då den ligger i intervallet? (i kursboken står "strängt avtagande" och de har inte försökt ta fram några stationära punkter heller).

Samma med den vänstra sidan av rektangeln där f(0,y)=-y så är denna också strängt avtagande. (förstår inte varför)

Om vi sedan tar den översta delen av rektangeln, f(x,2)=4x-x^2-2 för D: 0<=x<=1, så är denna strängt växande eftersom derivatan ger 4-2x=0 och det enda som tillgodoser denna ekvation är x=2 som ligger utanför vårt intervall D. Så denna förstår jag varför men samma logik kan inte appliceras på exemplet ovanför?

Albiki 4964
Postad: 30 okt 2020 Redigerad: 30 okt 2020

Hej,

  • Funktionen

        g(x)=f(x,0)=-x2g(x) = f(x,0)=-x^2 där 0x10\leq x\leq 1

    har största värde g(0)=0g(0) = 0 och minsta värde g(1)=-1g(1)=-1.

  • Funktionen

        h(x)=f(x,2)=2-(x-2)2h(x) = f(x,2)=2-(x-2)^2 där 0x10\leq x\leq 1,

     har största värdet h(1)=1h(1)=1 och minsta värdet h(0)=-2h(0)=-2.

Att derivera funktionerna är inte intressant eftersom derivatorna endast studerar dem på det öppna intervallet (0,1)(0,1) medan dessa funktioner antar optimala värden utanför det öppna intervallet (0,1) där derivator är oanvändbara.

Kovac 88
Postad: 30 okt 2020 Redigerad: 30 okt 2020
Albiki skrev:

Hej,

  • Funktionen

        g(x)=f(x,0)=-x2g(x) = f(x,0)=-x^2 där 0x10\leq x\leq 1

    har största värde g(0)=0g(0) = 0 och minsta värde g(1)=-1g(1)=-1.

  • Funktionen

        h(x)=f(x,2)=2-(x-2)2h(x) = f(x,2)=2-(x-2)^2 där 0x10\leq x\leq 1,

     har största värdet h(1)=1h(1)=1 och minsta värdet h(0)=-2h(0)=-2.

Att derivera funktionerna är inte intressant eftersom derivatorna endast studerar dem på det öppna intervallet (0,1)(0,1) medan dessa funktioner antar optimala värden utanför det öppna intervallet (0,1) där derivator är oanvändbara.

Med öppna intervall menar du 0x1? Där har ju g ett optimalt värde på 0 vid x=0 och h vid x=1 som ligger i intervallet?

Tror jag fortfarande inte fattar. Eller menar du att båda optimala värdena måste ligga innanför 0<=x<=1 för att man ska fortsätta derivera?

Albiki 4964
Postad: 30 okt 2020

Ett öppet intervall är 0<x<1.0<x<1.

Ett slutet intervall är 0x1.0\leq x \leq 1.

Kovac 88
Postad: 30 okt 2020
Albiki skrev:

Ett öppet intervall är 0<x<1.0<x<1.

Ett slutet intervall är 0x1.0\leq x \leq 1.

Då är jag med. Så vid randen kollar man alltid bara 0<x<1, 0<y<2?

dvs inte hörnpunkterna?

Finns det andra snabbare sätt att se detta än att sätta in värdena som du gjorde? 

Kovac 88
Postad: 3 nov 2020 Redigerad: 3 nov 2020
Albiki skrev:

Hej,

  • Funktionen

        g(x)=f(x,0)=-x2g(x) = f(x,0)=-x^2 där 0x10\leq x\leq 1

    har största värde g(0)=0g(0) = 0 och minsta värde g(1)=-1g(1)=-1.

  • Funktionen

        h(x)=f(x,2)=2-(x-2)2h(x) = f(x,2)=2-(x-2)^2 där 0x10\leq x\leq 1,

     har största värdet h(1)=1h(1)=1 och minsta värdet h(0)=-2h(0)=-2.

Att derivera funktionerna är inte intressant eftersom derivatorna endast studerar dem på det öppna intervallet (0,1)(0,1) medan dessa funktioner antar optimala värden utanför det öppna intervallet (0,1) där derivator är oanvändbara.

Orkar inte starta en ny tråd. Du säger att eftersom värdena antar optimala värden utanför det öppna intervallet så deriveras de inte. Men om vi kollar randen längs den högra sidan av rektangeln:  f(1,y) = y2-1-y, i 0y2

så antar denna funktionen optimala värden på g(0)=0 och g(2)=-2. -2 och 0 är ju utanför det öppna intervallet men ändå deriveras denna funktionen och en ny kritisk punkt fås nämligen f(1,1/2) = -5/4? Varför ska man derivera här när de ursprungliga punkterna är utanför intervallet?

Albiki 4964
Postad: 3 nov 2020 Redigerad: 3 nov 2020

Hej,

  • Om du deriverar funktionen gg så får du funktionen g'(x)=-2xg^\prime(x) = -2x som saknar nollställe på det öppna intervallet 0<x<10 < x < 1; funktionen gg saknar därför stationära punkter.
  • Om du deriverar funktionen hh så får du funktionen h'(x)=-2(x-2)h^\prime(x) = -2(x-2) som saknar nollställe på det öppna intervallet 0<x<10<x<1; funktionen hh saknar därför stationära punkter.

Eftersom intervallet 0x10\leq x \leq 1 är slutet och begränsat (det vill säga kompakt) så vet du att de kontinuerliga funktionerna gg och hh har största och minsta värde någonstans på intervallet. Du har konstaterat att funktionerna saknar stationära punkter i det inre av intervallet så därför måste de största och minsta värdena antas på intervallets rand, det vill säga x=0x=0 och x=1x=1. För att veta vilka som ger största respektive minsta värde beräknas funktionsvärdena i dessa randpunkter och jämförs.

Svara Avbryt
Close