Bestäm för vilka eller vilket komplext tal som uppfyller ekvationen

Är du bekant med de Moivres formel? Den kan användas här, på ett okänt tal $u = r(\cos(v) + i \sin(v))$. Formeln ger dig ett uttryck för $u^2$, och sen kan du jämföra det med resultatet du förväntar dig (dvs 1+2i).

Skaft skrev:

Är du bekant med de Moivres formel? Den kan användas här, på ett okänt tal $u = r(\cos(v) + i \sin(v))$. Formeln ger dig ett uttryck för $u^2$, och sen kan du jämföra det med resultatet du förväntar dig (dvs 1+2i).

Jag har kollat på vad de Moivres formel säger. Jag fattar inte hur jag ska kunna använda den i detta fall.

Vad säger formeln att $u^2$ blir, om vi låter $u$ vara talet $r(\cos(v) + i\sin(v))$?

Formeln säger väll att, $u=r\left(\cos \right(v)+i \sin (v\left)\right)$. Då borde väll $u^2$, $= \left(r\right(\cos \left(v\right)+i \sin {\left(v\right))}^2$

eller fattar jag det fel

Hm njae, formeln säger mer än så. Istället för att låta alltihop höjas till 2 kan du behandla absolutbelopp (r) och argument (v) separat: absolutbeloppet höjs till 2, medan argumentet multipliceras med 2. Så:

$u^2 = r^2 (\cos(2v) + i \sin(2v))$

Alltså, $u^2$ (eller z) är ett komplext tal med absolutbeloppet $r^2$ och argumentet 2v. Bestäm nu vad 1+2i (dvs talet z) har för argument och absolutbelopp, så kan du jämföra.

Om jag har fattar det rätt så,

Av 1+2i är absolutbeloppet: $\sqrt{1^2+2^2}= \sqrt{5}$

av 1+2i är argumentet: $arc\tan \left(\frac{2}{1}\right) \approx 63°$

Då ska jag använda det i formeln, $$\begin{gathered} u^2=r^2\left(\cos \right(2v)+i\sin (2v\left)\right) \\ = \\ {u}^2={\sqrt{5}}^2\left(\cos \right(2\times 63)+i\sin (2\times 63\left)\right) \\ Om man kör detta på miniräknaren blir det ungefär: u=3,14 \\ Har jag fattat något rätt eller är jag helt fel ute? \end{gathered}$$ 

Pröva! Det är alltid bra att kontrollera sina svar.

Eftersom det ska gälla att u² = z så kan du kvadrera ditt u och se om du då får 1 + 2i.

Supernothero skrev:

Om jag har fattar det rätt så,

Av 1+2i är absolutbeloppet: $\sqrt{1^2+2^2}= \sqrt{5}$

av 1+2i är argumentet: $arc\tan \left(\frac{2}{1}\right) \approx 63°$

 

 

Då ska jag använda det i formeln, $$\begin{gathered} u^2=r^2\left(\cos \right(2v)+i\sin (2v\left)\right) \\ = \\ {u}^2={\sqrt{5}}^2\left(\cos \right(2\times 63)+i\sin (2\times 63\left)\right) \\ Om man kör detta på miniräknaren blir det ungefär: u=3,14 \\ Har jag fattat något rätt eller är jag helt fel ute? \end{gathered}$$ 

z = 1+2i har argumentet arctan(2) cirka 63 grader och beloppet $\sqrt{5}$

så långt ok

då får vi z till $\sqrt{5}\left(\cos \right(63+n*360)+i\sin (63+n*360\left)\right)$(i polär form)

n*360 petar jag in eftersom sin och cos är periodiska

Vill vi nu ta roten ur detta tar vi roten ur beloppet och delar argumentet med 2

$$\begin{gathered} \sqrt{5}\left(\cos \right(63+n\times 360)+i\sin (63+n\times 360\left)\right) \\ \sqrt{5 } \approx 2,23606 \\ \frac{63+n\times 360}{2}=31,5 +n\times 180 \\ då får vi: \\ 2,24\times \left(\cos \right(31,5)+i\sin (31,5\left)\right)= \\ 2,24\times (0,996468+i0,0839745) \\ antar att det är såhär \end{gathered}$$

Nästan, som yngve skrev, anta inte, testa! 

Du har missat att ta roten ur beloppet! 

Dessutom ska du ha två lösningar, en för n =0 och en för n =1,