Bestäm för vilka reella tal a,b och c vektorerna är linjärt oberoende

Det känns som att din beskrivning av, eller förståelse av, definitionen av linjärt oberoende inte är helt klar. Vektorekvationen du beskriver används i definitionen för att säga att den enda lösningen till vektorekvationen är den triviala lösningen, dvs då alla $x_n$är 0. Ett enkelt sätt att få en intuition för det är att tänka på ett koordinatsystem i 3 dimensioner, med x, y och z, där du säger att om du först går en sträcka i x-riktning, sen en sträcka i y-riktning och sen en sträcka i z-riktning. De enda steglängder i x, y och z-led som gör att du kommer tillbaka till där du började är då samtliga steg är 0. Om du konstaterat att du bara kommer tillbaka till början efter att ha tagit steg i alla tre riktningarna om samtliga steglängder är 0, då har du konstaterat att de tre riktningarna x, y och z är linjärt oberoende. Ett annat sätt att säga samma sak är att du kan ta vilka steg du vill i x och y-led, men du kommer ingenstans i z-led för det.

PeBo skrev:

Det känns som att din beskrivning av, eller förståelse av, definitionen av linjärt oberoende inte är helt klar. Vektorekvationen du beskriver används i definitionen för att säga att den enda lösningen till vektorekvationen är den triviala lösningen, dvs då alla $x_n$är 0. Ett enkelt sätt att få en intuition för det är att tänka på ett koordinatsystem i 3 dimensioner, med x, y och z, där du säger att om du först går en sträcka i x-riktning, sen en sträcka i y-riktning och sen en sträcka i z-riktning. De enda steglängder i x, y och z-led som gör att du kommer tillbaka till där du började är då samtliga steg är 0. Om du konstaterat att du bara kommer tillbaka till början efter att ha tagit steg i alla tre riktningarna om samtliga steglängder är 0, då har du konstaterat att de tre riktningarna x, y och z är linjärt oberoende. Ett annat sätt att säga samma sak är att du kan ta vilka steg du vill i x och y-led, men du kommer ingenstans i z-led för det.

Tack för förklaringen, det hjälper min förståelse för linjärt oberoende men jag tror ändå inte att jag riktigt förstår hur jag ska lösa den här uppgiften. Stämmer mitt ekvationssystem som jag har skrivit eller borde jag börja från en helt annan riktning?

Bilda en matris där kolonnerna består av vektorerna, dvs låt $A=[v1\,v2\,v3]$.

Visa att determinanten kan skrivas som $\det(A)=-(abc)(a-b)(a-c)(b-c)$

Vad ska gälla för att determinanten $\det(A)\neq 0$?

Hej,

Problemet handlar om att finna tal $x$, $y$ och $z$ som gör att vektorn $xv_1+yv_2+zv_3$ är lika med nollvektorn.

Detta motsvaras av följande linjära ekvationssystem.

    $\{\begin{matrix}ax+by+cz=0\\a^2x+b^2y+c^2z=0\\a^3x+b^3y+c^3z=0\end{matrix} \iff \underbrace{\begin{pmatrix}a&b&c\\a^2&b^2&c^2\\a^3&b^3&c^3\end{pmatrix}}_{=M}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Du ser att en möjlig lösning till detta system är $x=0$, $y=0$ och $z=0$. Om det visar sig att detta är den enda möjliga lösningen så har du visat att vektorerna $v_1$, $v_2$ och $v_3$ är linjärt oberoende; detta inträffar precis då matrisen $M$ är inverterbar, vilket sker då matrisens determinant $\det M$ är nollskild.