Bestäm fourierserier för g(x) och h(x)

Du kan dela upp en funktion i jämn och udda del på följande sätt.

f(x) = (f(x) + f(-x))/2 + (f(x) - f(-x))/2.

PATENTERAMERA skrev:

Du kan dela upp en funktion i jämn och udda del på följande sätt.

f(x) = (f(x) + f(-x))/2 + (f(x) - f(-x))/2.

Jag har faktiskt fastnat redan här. Vad står dessa två funktioner för?  En funktion är jämn om f(-x)=f(x) och udda om f(-x)=-f(x)

Precis, (f(x) + f(-x))/2 är en jämn funktion och (f(x) - f(-x))/2 är en udda funktion. Summan av dessa funktioner är lika med f(x).

PATENTERAMERA skrev:

Precis, (f(x) + f(-x))/2 är en jämn funktion och (f(x) - f(-x))/2 är en udda funktion. Summan av dessa funktioner är lika med f(x).

Ok. Men hur kom man på att (f(x)+f(-x))/2 är jämn och samma sak med den andra summan om udda?

f(-x)/2+f(-(-x))/2=f(x)/2+f(x)/2=f(x) (jämn)

f(-x)/2-f(x)/2=-f(x)/2-f(x)/2=-f(x) (udda)

Sätt w(x) = (f(x) + f(-x))/2. Då har vi att w(-x) = (f(-x) + f(x))/2 = (f(x) + f(-x))/2 = w(x). Så w(x) är jämn.

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Precis, (f(x) + f(-x))/2 är en jämn funktion och (f(x) - f(-x))/2 är en udda funktion. Summan av dessa funktioner är lika med f(x).

Ok. Men hur kom man på att (f(x)+f(-x))/2 är jämn och samma sak med den andra summan om udda?

f(-x)/2+f(-(-x))/2=f(x)/2+f(x)/2=f(x) (jämn)

f(-x)/2-f(x)/2=-f(x)/2-f(x)/2=-f(x) (udda)

Ja, precis.

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Precis, (f(x) + f(-x))/2 är en jämn funktion och (f(x) - f(-x))/2 är en udda funktion. Summan av dessa funktioner är lika med f(x).

Ok. Men hur kom man på att (f(x)+f(-x))/2 är jämn och samma sak med den andra summan om udda?

f(-x)/2+f(-(-x))/2=f(x)/2+f(x)/2=f(x) (jämn)

f(-x)/2-f(x)/2=-f(x)/2-f(x)/2=-f(x) (udda)

Ja, precis.

Ok. Så hur ska man göra med g(x) och h(x) här för att bestämma dem? 

f(x)=cos(5x)/2+3x/2+cos(-5x)/2-3x/2+cos(5x)/2+3x/2-cos(-5x)/2-3x/2

Det är som du säger att cos(5x) är jämn och -3x är udda. Så det är bara funktionen

$s\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3, -\mathrm{\pi }<\mathrm{x}\le 0\\ 0, 0<x\le \mathrm{\pi }\end{array}\right.$som behöver delas upp i jämn och udda del.

Jag får det till

$s_{jämn}\left(x\right)=\frac{3}{2}, -\mathrm{\pi }<\mathrm{x}\le \mathrm{\pi }$.

$s_{udda}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}, -\mathrm{\pi }<\mathrm{x}\le 0\\ -\frac{3}{2}, 0<x\le \mathrm{\pi }\end{array}\right.$

PATENTERAMERA skrev:

Det är som du säger att cos(5x) är jämn och -3x är udda. Så det är bara funktionen

$s\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3, -\mathrm{\pi }<\mathrm{x}\le 0\\ 0, 0<x\le \mathrm{\pi }\end{array}\right.$som behöver delas upp i jämn och udda del.

Jag får det till

$s_{jämn}\left(x\right)=\frac{3}{2}, -\mathrm{\pi }<\mathrm{x}\le \mathrm{\pi }$.

$s_{udda}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}, -\mathrm{\pi }<\mathrm{x}\le 0\\ -\frac{3}{2}, 0<x\le \mathrm{\pi }\end{array}\right.$

Jag hänger inte med här tyvärr. Jag vet inte hur man delar upp styckvisa funktionen i jämn och udda del. Kan det vara så att man använder sig av gränsvärde tänk dvs  lim x=> 0⁺ då x närmar sig  0 från höger sida (positiva x-axeln) och f(x)  går mot 0 och lim x=>0^- när x närmar sig 0 från negativa x-axeln så går f(-x)=3? x=0 och x=pi är de enda som gör hopp för f(x) tror jag.

Jag ritade bara upp s(x) och sedan gjorde jag en gissning av hur uppdelningen skulle kunna se ut.

PATENTERAMERA skrev:

Jag ritade bara upp s(x) och sedan gjorde jag en gissning av hur uppdelningen skulle kunna se ut.

Ja okej. Men funkar det med min gränsvärde tänk också? Jag får att s(x)= { 3/2 , -pi<x<=0 

-3/2 , 0<x<=pi. Den jämna funktionen blir väl g(x)=cos(5x)+3/2 och udda blir det h(x)=-3x-3/2

Jag använde trigonometrisk formel för cos(5x)cos(nx) enligt formelbladet för att integrera den termen. Men då blir a_n =0 vilket inte stämmer med facits svar.  Jag vet inte hur man ska tänka när man ska ta fram fourierkoefficienter för integranden cos(5x)cos(nx).

Vad händer om n = 5 eller -5?

PATENTERAMERA skrev:

Vad händer om n = 5 eller -5?

Om n=5 så blir integranden cos^2(5x) för n=-5 vet jag inte.

cos(x(5-5)) = cos(0) = 1.

PATENTERAMERA skrev:

cos(x(5-5)) = cos(0) = 1.

Men hur ska man tänka när man ska ta fram fourierserier för cos5xcos(nx) utan ett formelblad som ger oss svaret 0?

Tex borde man kunna använda att cos(mx) = (e^imx + e^-imx)/2.

PATENTERAMERA skrev:

Tex borde man kunna använda att cos(mx) = (e^imx + e^-imx)/2.

Ja det kan man göra för tex cos(5x) men vad ska man den till ? Blir det inte krångligare att integrera sen när man även ska göra om cos(nx) till den där exponentialen? Jag kan förresten testa med både cos(5x)cos(nx) och se om det blir enklare integrering med omvandling till e^ix 

${\int }_0^{2\pi }{e}^{inx}dx=\left\{\begin{array}{l}0, n\ne 0\\ 2\mathrm{\pi }, \mathrm{n}=0\end{array}\right.$

PATENTERAMERA skrev:

Efter denna långa uträkning så tar allt ut varandra.

Du måste tänka på vad som speciellt händer då n = 5. Då blir 5 - n = 0.

${\int }_0^{\mathrm{\pi }}{e}^{i·0·x}dx={\int }_0^{\mathrm{\pi }}1dx =\mathrm{\pi }$.

PATENTERAMERA skrev:

Du måste tänka på vad som speciellt händer då n = 5. Då blir 5 - n = 0.

${\int }_0^{\mathrm{\pi }}{e}^{i·0·x}dx={\int }_0^{\mathrm{\pi }}1dx =\mathrm{\pi }$.

Vill du visa var i mina uträkningar som är felaktig? Jag förstod som att man ska göra på det sättet.

De är korrekta, tror jag, så länge som n är skilt från 5. Men om n = 5 så måste du utgå från att e^i(5-n)x = e^i0x = 1 när du integrerar. Annars få du division med noll, inte bra.

PATENTERAMERA skrev:

De är korrekta, tror jag, så länge som n är skilt från 5. Men om n = 5 så måste du utgå från att e^i(5-n)x = e^i0x = 1. När du integrerar. Annars få du division med noll, inte bra.

Ok men om allt är n=5 innan man integrerar så får vi endast detta  att integrera. Sen om man multiplicerar 2/pi med pi/2 så får man 1

Ja, så Fourierserien för cos(5x) är cos(5x), inte så förvånande, kanske.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, så Fourierserien för cos(5x) är cos(5x), inte så förvånande, kanske.

jaha så cos(5x) är sin egen fourieserie dvs bara 1? då blir det alltså a_n=1 då b_n=0 . Nu har jag inte kollat på vad a_0/2 blir för att bestämma hela serien för jag har bara bestämt a_n här. Men om jag förstår detta rätt så behövde vi bara titta på n=5 för cos(nx)?  Jag trodde man behövde titta på cos5x separat och cosnx separat för att bestämma deras fourieserier. Sen kan ju n vara vad som helst på cosnx så lite förvånande att fokuset låg n=5 mest.

Tänk på att du var ute efter utvecklingen av cos(5x) inte cos(nx).

PATENTERAMERA skrev:

Tänk på att du var ute efter utvecklingen av cos(5x) inte cos(nx).

Ja ok då är jag med.