Bestäm fouriertransformen och om F(w) är kontinuerlig

Jag antar att det är fel att säga att det blir 0 eftersom vi vet inte om w är heltal eller inte.  Kan kontinuiteten undersökas mha L'hopital?

Kontinuitet har diskuterats i en av dina tidigare trådar >

I denna konkreta uppgift skall fouriertransformen bestämmas (bl.a.) då $\omega = \pm 1$, vilket gör att den funna primitiva funktionen är fel för dessa specifika värden på $\omega$. Man får ju inte dividera med noll.

Uttrycket $\dfrac{\sin((1-\omega)x)}{1-\omega}$ är odefinierat ifall $\omega = 1$, medan uttrycket $\dfrac{\sin((1+\omega)x)}{1+\omega}$ är odefinierat ifall $\omega = -1$.

Eftersom det är dessa två värden på $\omega$ som man i synnerhet är intresserad av, så kan man sätta in $\omega = 1$ i integranden och därefter ta fram primitiv funktion, respektive sätta in $\omega = -1$ i integranden och därefter ta fram primitiv funktion för att bestämma F-transformen för dessa två värden på $\omega$.

Vill man ta fram transformen för alla övriga värden på $\omega$, så är det bara att sätta in $\pi$ (och 0) i den funna primitiva funktionen. Notera att likheten $\sin((1\pm \omega) \pi) = 0$ inte stämmer för alla reella vinkelfrekvenser $\omega$, vilket du själv nämner i #2

LuMa07 skrev:

Kontinuitet har diskuterats i en av dina tidigare trådar >

I denna konkreta uppgift skall fouriertransformen bestämmas (bl.a.) då $\omega = \pm 1$, vilket gör att den funna primitiva funktionen är fel för dessa specifika värden på $\omega$. Man får ju inte dividera med noll.

Uttrycket $\dfrac{\sin((1-\omega)x)}{1-\omega}$ är odefinierat ifall $\omega = 1$, medan uttrycket $\dfrac{\sin((1+\omega)x)}{1+\omega}$ är odefinierat ifall $\omega = -1$.

Eftersom det är dessa två värden på $\omega$ som man i synnerhet är intresserad av, så kan man sätta in $\omega = 1$ i integranden och därefter ta fram primitiv funktion, respektive sätta in $\omega = -1$ i integranden och därefter ta fram primitiv funktion för att bestämma F-transformen för dessa två värden på $\omega$.

Vill man ta fram transformen för alla övriga värden på $\omega$, så är det bara att sätta in $\pi$ (och 0) i den funna primitiva funktionen. Notera att likheten $\sin((1\pm \omega) \pi) = 0$ inte stämmer för alla reella vinkelfrekvenser $\omega$, vilket du själv nämner i #2

Fast nu är jag förvirrad över vad uppgiften vill att jag ska göra först? Jag tolkar uppgiften som att ta fram fouriertransformen för w allmänt och sen stoppa in w=-+1 för fouriertransformen uttrycket  och sen svara på frågan om kontinuitet. 

Uppgiften innehåller två frågor egentligen, som båda skall besvaras.

• Bestäm $F(\omega)$. Dessutom har de påpekat att $F(1)$ och $F(-1)$ inte ska nonchaleras.
• Avgör om $F(\omega)$ är kontinuerlig.

Det går att besvara dessa två frågor oberoende av varandra och därmed i vilken ordning som helst.

Man kan avgöra kontinuitet av $F(\omega)$ tack vare teorin som gåtts igenom i kurslitteraturen utan att behöva hitta någon formel för $F(\omega)$.

När det gäller att bestämma $F(\omega)$, så har du redan gjort det mesta för alla $\omega \ne \pm 1$, det var bara det sista steget som var fel då $\sin((1\pm\omega)\pi) \ne 0$ ifall $\omega \notin \mathbb{Z}$. Däremot innehöll din beräkning olagliga räkneoperationer ifall $\omega = \pm 1$. För dessa var primitiva funktionen inte korrekt.

LuMa07 skrev:

Uppgiften innehåller två frågor egentligen, som båda skall besvaras.

• Bestäm $F(\omega)$. Dessutom har de påpekat att $F(1)$ och $F(-1)$ inte ska nonchaleras.
• Avgör om $F(\omega)$ är kontinuerlig.

Det går att besvara dessa två frågor oberoende av varandra och därmed i vilken ordning som helst.

Man kan avgöra kontinuitet av $F(\omega)$ tack vare teorin som gåtts igenom i kurslitteraturen utan att behöva hitta någon formel för $F(\omega)$.

När det gäller att bestämma $F(\omega)$, så har du redan gjort det mesta för alla $\omega \ne \pm 1$, det var bara det sista steget som var fel då $\sin((1\pm\omega)\pi) \ne 0$ ifall $\omega \notin \mathbb{Z}$. Däremot innehöll din beräkning olagliga räkneoperationer ifall $\omega = \pm 1$. För dessa var primitiva funktionen inte korrekt.

Men då är hela min F(w) fel. Jag antog att w var heltal...

destiny99 skrev:

Men då är hela min F(w) fel. Jag antog att w var heltal...

Javisst, men merparten av beräkningen är ok. Det är bara sista steget (och fallet $\omega = \pm 1$) som är fel.

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

Men då är hela min F(w) fel. Jag antog att w var heltal...

Javisst, men merparten av beräkningen är ok. Det är bara sista steget (och fallet $\omega = \pm 1$) som är fel.

sista steget förstår jag varför den är fel. men fallet w=+-1 behöver undersökas med gränsvärde(L'hopital) när man tagit fram F(w) , jag har aldrig räknat ut det fallet? facit valde att ta fram gränsvärde för w=-+1 och snacka om kontinuitet därifrån. de satte alltså aldrig in w=+-1 i integranden som du föreslog.

Fallet $\omega=\pm1$ behöver inte undersökas med gränsvärde. Det fallet kan undersökas med gränsvärde förutsatt att man redan motiverat att $F(\omega)$ är kontinuerlig.

Notera alltså skillnaden mellan "att behöva göra något på ett visst sätt" och "att ha möjlighet att göra det på det sättet".

Insättning av $\omega = 1$ eller $\omega=-1$ i identiteten

$\displaystyle {F(\omega)} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi { ( \cos ((1-\omega)x) - \cos ((1+\omega)x) )}\,dx$

ger

$\displaystyle {F(1)} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi { ( \cos 0x - \cos 2x )}\,dx = \ldots$

respektive

$\displaystyle {F(-1)} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi { ( \cos 2x - \cos 0x )}\,dx = \ldots$

och dessa är ganska enkla att beräkna direkt. Man slipper någon gränsvärdesberäkning.

LuMa07 skrev:

Fallet $\omega=\pm1$ behöver inte undersökas med gränsvärde. Det fallet kan undersökas med gränsvärde förutsatt att man redan motiverat att $F(\omega)$ är kontinuerlig.

Notera alltså skillnaden mellan "att behöva göra något på ett visst sätt" och "att ha möjlighet att göra det på det sättet".

Insättning av $\omega = 1$ eller $\omega=-1$ i identiteten

$\displaystyle {F(\omega)} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi { ( \cos ((1-\omega)x) - \cos ((1+\omega)x) )}\,dx$

ger

$\displaystyle {F(1)} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi { ( \cos 0x - \cos 2x )}\,dx = \ldots$

respektive

$\displaystyle {F(-1)} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi { ( \cos 2x - \cos 0x )}\,dx = \ldots$

och dessa är ganska enkla att beräkna direkt. Man slipper någon gränsvärdesberäkning.

Ok. Om man räknar ut värdet för fouriertransformen i punkter w=+-1 och får olika värde. Hur ska man då motivera att F(w) är kontinuerlig? 

destiny99 skrev:

... Hur ska man då motivera att F(w) är kontinuerlig? 

Se Theorem 3.1 på sid 94 i Pinkus-Zafranys bok Fourier Series and Integral Transforms. Den givna funktionen $f(x)$ är absolutintegrerbar, d.v.s. integralen $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty {|f(x)|}\,dx$ är konvergent, så kontinuitet följer från Sats 3.1.

Absolutkonvergens motiveras enklast nog via majorantkriteriet:

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty {|f(x)|}\,dx = \int_{-\pi}^\pi {|\sin x|}\,dx \le \int_{-\pi}^\pi 1 \,dx = 2\pi$, så $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty {|f(x)|}\,dx < \infty$

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

... Hur ska man då motivera att F(w) är kontinuerlig? 

Se Theorem 3.1 på sid 94 i Pinkus-Zafranys bok Fourier Series and Integral Transforms. Den givna funktionen $f(x)$ är absolutintegrerbar, d.v.s. integralen $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty {|f(x)|}\,dx$ är konvergent, så kontinuitet följer från Sats 3.1.

Absolutkonvergens motiveras enklast nog via majorantkriteriet:

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty {|f(x)|}\,dx = \int_{-\pi}^\pi {|\sin x|}\,dx \le \int_{-\pi}^\pi 1 \,dx = 2\pi$, så $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty {|f(x)|}\,dx < \infty$

Ett annat sätt är väl L'hopital och sen använda den där satsen som de gör i facit. Vi har ju fått fram vad F(+-1) är och om gränsvärdet är samma svar så är F(w) kontinuerlig.