Bestäm i parameterform det plan II som är parallellt med L1 och innehåller L2

Det borde också gå, men kan man inte tänka så här:

Riktningsvektorerna för planet är r_1 = (-2,-1,1) och r2 = (1,5,1). En punkt i planet är p = (4,2,3). Då borde parametriseringen av planet ges av

p + tr_1 + sr_2

Gustor skrev:

Det borde också gå, men kan man inte tänka så här:

Riktningsvektorerna för planet är r_1 = (-2,-1,1) och r2 = (1,5,1). En punkt i planet är p = (4,2,3). Då borde parametriseringen av planet ges av

p + tr_1 + sr_2

hm detta är facits svar. Men jag fick inte som dem som sagt och jag förklarar detta i #1. I bilden nedan kan ni se hur jag gått tillväga för att hitta planets ekvation på parameterform.  Varför kan man inte ta kryssprodukten mellan linjernas riktningsvektorerna för att få normalvektor till planet? 

I slutet där du skriver att $2x = 15 + s + 3t$, ska det inte vara

$2x - s + 3t - 15 = 0 \iff 2x = 15 + s - 3t$, så att

$x = 15/2 + s/2 - (3/2)t$, och planets parametrisering blir

$(15/2, 0, 0) + s(1/2, 1, 0) + t(-3/2, 0, 1)$?

Det här ser ju helt annorlunda ut än parametriseringen jag och facit kom fram till, men notera att det i regel finns många olika (oändligt många) parametriseringar som beskriver en och samma mängd.

Är dessa två parametriseringar ekvivalenta? För att ta reda på det ser vi om vi kan uttrycka riktningsvektorerna i den första parametriseringen med linjärkombinationer av riktningsvektorerna i den andra parametriseringen:

$(-2,-1,1) = a(1/2,1,0) + b(-3/2,0,1)$ ger en lösning $a=-1$, $b=1$, och

$(1,5,1) = a(1/2,1,0) + b(-3/2,0,1)$ ger en lösning $a=5$, $b=1$.

Vi har även att punkten $(4,2,3)$ från den första parametriseringen kan skrivas som

$(4,2,3) = (15/2,0,0) + a(1/2,1,0) + b(-3/2,0,1)$, för $a=2$, $b=3$.

Vad detta betyder är att varje punkt på formen $(4,2,3) + s_1(-2,-1,1) + t_1(1,5,1)$ (varje punkt i planet från den första parametriseringen) även kan skrivas på formen $(15/2,0,0) + s_2(1/2,1,0) + t_2(-3/2,0,1)$, för lite andra värden på parametrarna $s_2$ och $t_2$. Det omvända gäller såklart också. Alltså beskriver parametriseringarna samma mängd punkter, och är alltså båda två parametriseringar av ett och samma plan.

Slutsatsen är att båda metoderna fungerar, bara att man får komma ihåg att parametriseringar som ser olika ut kan beskriva samma mängd punkter.

Gustor skrev:

I slutet där du skriver att $2x = 15 + s + 3t$, ska det inte vara

$2x - s + 3t - 15 = 0 \iff 2x = 15 + s - 3t$, så att

$x = 15/2 + s/2 - (3/2)t$, och planets parametrisering blir

$(15/2, 0, 0) + s(1/2, 1, 0) + t(-3/2, 0, 1)$?

Det här ser ju helt annorlunda ut än parametriseringen jag och facit kom fram till, men notera att det i regel finns många olika (oändligt många) parametriseringar som beskriver en och samma mängd.

Är dessa två parametriseringar ekvivalenta? För att ta reda på det ser vi om vi kan uttrycka riktningsvektorerna i den första parametriseringen med linjärkombinationer av riktningsvektorerna i den andra parametriseringen:

$(-2,-1,1) = a(1/2,1,0) + b(-3/2,0,1)$ ger en lösning $a=-1$, $b=1$, och

$(1,5,1) = a(1/2,1,0) + b(-3/2,0,1)$ ger en lösning $a=5$, $b=1$.

Vi har även att punkten $(4,2,3)$ från den första parametriseringen kan skrivas som

$(4,2,3) = (15/2,0,0) + a(1/2,1,0) + b(-3/2,0,1)$, för $a=2$, $b=3$.

Vad detta betyder är att varje punkt på formen $(4,2,3) + s_1(-2,-1,1) + t_1(1,5,1)$ (varje punkt i planet från den första parametriseringen) även kan skrivas på formen $(15/2,0,0) + s_2(1/2,1,0) + t_2(-3/2,0,1)$, för lite andra värden på parametrarna $s_2$ och $t_2$. Det omvända gäller såklart också. Alltså beskriver parametriseringarna samma mängd punkter, och är alltså båda två parametriseringar av ett och samma plan.

Slutsatsen är att båda metoderna fungerar, bara att man får komma ihåg att parametriseringar som ser olika ut kan beskriva samma mängd punkter.

Åh tack! Vad bra att min metod funkar också. Jag var så osäker på om jag tänkte och gjorde rätt pga facits svar. Men man kanske ska se om man kan uttrycka L1:s riktningsvektor  samt L2:s  riktningsvektor som en linjärkombination av de nya riktningsvektorer som jag fått fram för att se om man gjort rätt.

Din lösning ger också en korrekt parametrisering av planet, så egentligen behöver man inte göra något mer. Det man kan säga är väl att din metod är något krångligare, men har man gjort rätt så måste båda leda fram till korrekta parametriseringar. Jag hade varit förvånad om din lösning inte gav full poäng på denna uppgift om den var på en tenta (om man bortser från att ett minus hade blivit till plus i slutet).