Bestäm integralen

Räkna med två trianglar!

Den röda triangeln är positiv, och den blåa är negativ. När du adderar ihop dem får du hela integralens värde.

pinglan98 skrev:

 

 

Jag vet inte riktigt hur man ska räkna ut detta? Triangeln slutar ju vid punkten 2. Det vill säga övre integrationsgräns är 2 och undre blir -1. Jag förstår då inte hur jag ska räkna när övre integrationsgräns är 4? Ska jag räkna som en vanlig integral, det vill säga ta fram den primitiva funktionen sedan sitta in övre integrationsgränsen 4 och undre integrationsgränsen -1?

Du kan göra på två sätt:

1. Dela upp integralen i 2 delar: Från -1 till 0 och från 0 till 4. Ta fram ett funktionsuttryck f(x) för respektive del. Beräkna med hjälp av dessa funktionsuttryck värdet av de båda integralerna och summera dessa värden.

2. Enklare: Utnyttja sambandet mellan integralens värde och arean under kurvan. Dela upp integralen i 2 andra delar: Från -1 till 2 och från 2 till 4. Räkna rutor mellan f(x) och x-axeln i respektive del. Då f(x) > 0 fås ett positivt tillskott till integralens värde. Då f(x) < 0 fås ett negativt tillskott till integralens värde.

Yngve skrev:

pinglan98 skrev:

 

 

Jag vet inte riktigt hur man ska räkna ut detta? Triangeln slutar ju vid punkten 2. Det vill säga övre integrationsgräns är 2 och undre blir -1. Jag förstår då inte hur jag ska räkna när övre integrationsgräns är 4? Ska jag räkna som en vanlig integral, det vill säga ta fram den primitiva funktionen sedan sitta in övre integrationsgränsen 4 och undre integrationsgränsen -1?

Du kan göra på två sätt:

1. Dela upp integralen i 2 delar: Från -1 till 0 och från 0 till 4. Ta fram ett funktionsuttryck f(x) för respektive del. Beräkna med hjälp av dessa funktionsuttryck värdet av de båda integralerna och summera dessa värden.

2. Enklare: Utnyttja sambandet mellan integralens värde och arean under kurvan. Dela upp integralen i 2 andra delar: Från -1 till 2 och från 2 till 4. Räkna rutor mellan f(x) och x-axeln i respektive del. Då f(x) > 0 fås ett positivt tillskott till integralens värde. Då f(x) < 0 fås ett negativt tillskott till integralens värde.

 $$\begin{gathered} {\int }_{-1}^2(2-x)dx = {\int }_{-1}^2(2x-2x^2/2)/2 \\ {\int }_2^4(2-x)dx ={\int }_4^4(2x-2x^2/2)/2 \end{gathered}$$

Sedan när jag räknat ut dessa så ska jag ta dem minus varandra? eller 

( obs! det ska såklart 2 i undre integrationsgränsen 

pinglan98 skrev:

$$\begin{gathered} {\int }_{-1}^2(2-x)dx = {\int }_{-1}^2(2x-2x^2/2)/2 \\ {\int }_2^4(2-x)dx ={\int }_4^4(2x-2x^2/2)/2 \end{gathered}$$

Sedan när jag räknat ut dessa så ska jag ta dem minus varandra? eller 

( obs! det ska såklart 2 i undre integrationsgränsen 

Nej dina funktionsuttryck och dina gränser är fel.

Dela upp intervallet och funktionen $f(x)$ i 2 delar:

1. $-1\leq x\leq 0$. Här är $f(x)=2x+2$

2. $0\leq x\leq 4$. Här är $f(x)=2-x$

Integrera varje del för sig och addera integralernas värden.

Det finns ingen anledning att integrera alls i den här uppgiften - arean av en triangel är ju lätt att beräkna utan integraler, när man vet basen och höjden. Meningen med uppgiften är att man skall förstå att den triangel som Smutstvätt har målat röd ger ett positivt bidrag, och den blå triangeln ger ett negativt bidrag till integralens värde.