Bestäm integralen

Det är nästan aldrig rätt metod att använda PI om det är ett rationellt uttryck. 

I Detta fallet så trillar svaret fram direkt med en sub:

$u=3x+1$

Ger integralen: $\dfrac{1}{3}\displaystyle \int_1^{13} \dfrac{u-1}{u}du$ vilket är en trivial integral att beräkna.

Sätt t = 3x+1 Då är dt=3 dx som ger dx =dt/3 De nya gränserna blir 1 och 13. Integranden blir (t-1)/3t Sen är det motorväg till mål.

Tomten skrev:

Sätt t = 3x+1 Då är dt=3 dx som ger dx =dt/3 De nya gränserna blir 1 och 13. Integranden blir (t-1)/3t Sen är det motorväg till mål.

Hur vet man att de nya gränserna är 1 och 13?

Dracaena skrev:

Det är nästan aldrig rätt metod att använda PI om det är ett rationellt uttryck. 

I Detta fallet så trillar svaret fram direkt med en sub:

$u=3x+1$

Ger integralen: $\dfrac{1}{3}\displaystyle \int_1^{13} \dfrac{u-1}{u}du$ vilket är en trivial integral att beräkna.

Okej förstår. Men sättet som jag gjorde partiell integration på, var det fel? Eller hade det gått? För jag hittar inte felet, tänker att det borde gå?

X=0 ger t=1 och x=4 ger t =13

Tomten skrev:

X=0 ger t=1 och x=4 ger t =13

Aha tack!

Tomten skrev:

Sätt t = 3x+1 Då är dt=3 dx som ger dx =dt/3 De nya gränserna blir 1 och 13. Integranden blir (t-1)/3t Sen är det motorväg till mål.

Får jag dock fråga en sak till. Om man sätter 3x+1 = t 
borde inte nämnaren bara bli t då och inte 3t?

Derivatan av 3x+1 är 3, så vi får efter derivering:

$dt=3dx$, lös ut dx och stoppa in i integralen istället för dx.

Dracaena skrev:

Derivatan av 3x+1 är 3, så vi får efter derivering:

$dt=3dx$, lös ut dx och stoppa in i integralen istället för dx.

Vad är det man gör när det blir dt = 3dx?

har aldrig gjort så, så vet inte vad det betyder

Det vi gör är kedjeregeln baklänges.

läs gärna här:

https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution

Dracaena skrev:

Det vi gör är kedjeregeln baklänges.

läs gärna här:

https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution

Läste den, men förstår ändå inte :( det är inget vi har gått igenom. Så det var därför jag tänkte att jag skulle använda partiell integration på uppgiften.

en alternativ lösningsmetod:

$\frac{3x}{3x+1}=\frac{3x+1-1}{3x+1}$

vi har alltså adderat och subtraherat en etta i täljaren, det ändrar inte bråkets värde,

Nu delar vi upp bråket på två bråk

$\frac{3x+1-1}{3x+1}=\frac{3x+1}{3x+1}-\frac{1}{3x+1}$

och förenklar

$\frac{3x+1}{3x+1}-\frac{1}{3x+1} =1-\frac{1}{3x+1}$

Vår integral ser nu ut så här

${\int }_0^{4}1-\frac{1}{3x+1} dx$

nu kan du nog hitta en primitiv funktion utan substitution!