25 svar
158 visningar
Liddas 314
Postad: 21 aug 2020 14:56 Redigerad: 21 aug 2020 14:57

Bestäm integralen geometriskt (Arean)

integral 1/2 -root(9-x^2) från -3 till 3

Y=1/2-root(9-x^2)

Y^2=1/4-(9-x^2)

y^2=1/4-9+x^2

1/4-9=y^2-x^2

 Fattar inte hur jag löser denna?

När det står y= root(9-x^2) blir det ju en cirkel med radien 3.

emilg 440
Postad: 21 aug 2020 15:18

Eftersom du vet att det är en cirkel (eller ja, halvcirkel är det) så är det lätt att räkna ut arean.

Liddas 314
Postad: 21 aug 2020 15:20

Jag vet inte att det är en cirkel, hade det stått r^2=y^2+x^2 då hade jag vetat det.

Laguna 14525
Postad: 21 aug 2020 15:28

Du skrev att en del av integranden är en cirkel. Rita upp det hela, cirkeln och resten. 

Liddas 314
Postad: 21 aug 2020 15:35 Redigerad: 21 aug 2020 15:36

Kan ju inte rita den eftersom den inte är på formen r^=y^2+x^2

Ebola 2108
Postad: 21 aug 2020 15:48 Redigerad: 21 aug 2020 15:49
Liddas skrev:

Kan ju inte rita den eftersom den inte är på formen r^=y^2+x^2

Du kan fortfarande rita den eftersom den är på formen y=1/2-r2-x2y = 1/2 - \sqrt{r^{2}-x^{2}}

Detta innebär helt enkelt att du flyttat en "glad" halvcirkel med radie 3 och centrum i origo uppåt 1/2 enheter.

Edit: Meningen är dock självklart inte att du ska räkna ut arean på en halvcirkel med Archimedes formel. Meningen är att du ska använda en trigonometrisk substitution.

Laguna 14525
Postad: 21 aug 2020 16:51

Det står geometriskt. Det borde betyda att man kan urskilja cirkelsektorer och trianglar osv. utan att använda algebra eller analys. (Nej, jag har inte ritat själv ännu.) 

Albiki 5320
Postad: 21 aug 2020 16:57

Hej Liddas,

Du vill beräkna integralen

    -3312-9-x2dx.\int_{-3}^{3} \frac{1}{2}-\sqrt{9-x^2}\,dx.

Om y=12-9-x2y = \frac{1}{2}-\sqrt{9-x^2} så ger Kvadreringsregeln att

    y2=14+9-x2-9-x2y^2 = \frac{1}{4} + 9-x^2 - \sqrt{9-x^2}

och inte det som du skriver. 

Ebola 2108
Postad: 21 aug 2020 17:33 Redigerad: 21 aug 2020 17:36
Laguna skrev:

Det står geometriskt.

Ah, det missade jag helt... Krångligt i detta fall då det fortfarande inte är arean för en halvcirkel eftersom större delen av integralen är negativ med en liten positiv del. Kanske går som du säger att använda sig av trianglar och cirkelsektorer.

Liddas skrev:

Y=1/2-root(9-x^2)

Y^2=1/4-(9-x^2)

Detta, som Albiki påpekar är fel, måste du vara väldigt försiktig med. Jag vet många som gör detta fel på gymnasienivå men det felet är närmare oacceptabelt på universitetsnivå. Det du gjort är att du antar att kvadrering av två termer innebär att varje term blir kvadrerad var för sig eller att kvadrering är en linjär operation.

Du lärde dig kvadreringsregeln i Matematik 2 enligt nedan:

a+b2=a2+2ab+b2

Det du skrivit (vilket inte stämmer) är:

a+b2=!a2+b2

Smaragdalena 54364 – Lärare
Postad: 21 aug 2020 17:42
Ebola skrev:
Laguna skrev:

Det står geometriskt.

Ah, det missade jag helt... Krångligt i detta fall då det fortfarande inte är arean för en halvcirkel eftersom större delen av integralen är negativ med en liten positiv del. Kanske går som du säger att använda sig av trianglar och cirkelsektorer.

Jo, det är en halvcirkel,inte något krångligare - rita så får du se!

tomast80 3507
Postad: 21 aug 2020 17:58

Vad blir:

(y-12)2(y-\frac{1}{2})^2 ?

Ebola 2108
Postad: 21 aug 2020 18:02
Smaragdalena skrev:

Jo, det är en halvcirkel,inte något krångligare - rita så får du se!

Kurvan må vara en halvcirkel men integralens värde är en summa av ett positivt och negativt tal:

Integralens värde är ca -11.137 men arean för en halvcirkel med radie 3 är ca. 14.137.

Smaragdalena 54364 – Lärare
Postad: 21 aug 2020 18:18

Jag skulle vilja se hur ursprungsuppgiften ser ut korrekt skriven. Det är fullt möjligt att högst en av oss tolkar "integral 1/2 -root(9-x^2) från -3 till 3" som det är tänkt.

Liddas, kan du lägga in en bild av uppgiften?

Laguna 14525
Postad: 21 aug 2020 18:33

Man behöver inte göra en enda figur av integranden. Räkna ut integralen av 1/2 och sen integralen av halvcirkelgrejen.

Albiki 5320
Postad: 21 aug 2020 18:58 Redigerad: 21 aug 2020 18:58

Hej,

Geometrisk tolkning av integralen får du genom att beräkna den som differensen av två integraler.

    -3312dx\int_{-3}^{3}\frac{1}{2}\, dx och -339-x2dx.\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx.

  • Den första integralen är arean av en rektangel vars bas är 6 och höjd är 1/2.
  • Den andra integralen är arean hos en halvcirkelskiva vars radie är 3.
Laguna 14525
Postad: 21 aug 2020 19:10
Albiki skrev:

Hej,

Geometrisk tolkning av integralen får du genom att beräkna den som differensen av två integraler.

    -3312dx\int_{-3}^{3}\frac{1}{2}\, dx och -339-x2dx.\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx.

  • Den första integralen är arean av en rektangel vars bas är 6 och höjd är 1/2.
  • Den andra integralen är arean hos en halvcirkelskiva vars radie är 3.

Precis. 

Liddas 314
Postad: 21 aug 2020 19:58 Redigerad: 21 aug 2020 20:01

Det ligger under delen “utvärdera geometriskt”

Liddas 314
Postad: 21 aug 2020 20:07

Ja klantigt nog har jag räknat fel när jag kvadrerade. 

Liddas 314
Postad: 22 aug 2020 12:02

Tack för alla svar/hjälp, jag får ut rätt svar eftersom jag nu vet att det är en halvcirkel, men hur ser jag att det är en halvcirkel? 

Liddas 314
Postad: 22 aug 2020 14:20 Redigerad: 22 aug 2020 14:22

Är det bara så att det för att arean beräknas ovanför x axeln? Dvs y>0

edit: nej det är det ju inte eftersom grafen som ni ritat ut är ju under x-axeln...

Smaragdalena 54364 – Lärare
Postad: 22 aug 2020 14:56

men hur ser jag att det är en halvcirkel?

Rita! Sätt in y = -3,-2... ,3 i formeln.

Du bör också lära dig att känna igen ekvationen för en cirkel ((x-x0)2+(y-y0)2=r2), som du lärde dig i Ma3, även i olika "förklädnader".

Liddas 314
Postad: 22 aug 2020 15:00

Okej ska prova rita!

Ja men det har man glömt men kollade lite på det nyss och den bygger ju på pytagoras sats så det finns ju lite trix att uppfriska, och x-x_0 blir ju förskjutningen i x led  från origo etc...

Smaragdalena 54364 – Lärare
Postad: 22 aug 2020 15:15

I just det här fallet är ju x0 = 0.

Laguna 14525
Postad: 22 aug 2020 16:29
Liddas skrev:

Är det bara så att det för att arean beräknas ovanför x axeln? Dvs y>0

edit: nej det är det ju inte eftersom grafen som ni ritat ut är ju under x-axeln...

Nedanför x-axeln är den nog för att den hade ett minustecken framför sig. 

Liddas 314
Postad: 23 aug 2020 13:26

Jag ska alltså sätta in y värdena i ursprungsformeln? Då får vi ju en massa knepigt kvar med roten ur x^2 osv. Vore bra att lära sig rita upp detta!

Smaragdalena 54364 – Lärare
Postad: 24 aug 2020 10:23

Lär dig att känna igen formeln för en halvcirkel när du ser den!   ;-)

Svara Avbryt
Close