Bestäm integralen mha figuren

Det står i texten att $f^\prime(x) = 1+\ln x$. Med andra ord är $f(x)$ en primitiv funktion till $(1+\ln x)$. Grafen visar kurvan $y=f(x)$, d.v.s. grafen innehåller en primitiv.

Hur beräknas en bestämd integral? Man sätter in integrationsgränserna i en primitiv och beräknar differensen mellan dessa värden. I det här fallet är $\int_1^3 {(1+\ln x)}\,dx ={ f(3) - f(1)}$ eftersom $f$ är en primitiv till $(1+\ln x)$.

Det återstår att ta reda på värdena av $f(3)$ och $f(1)$. Dessa avläses i grafen.

Men bör vi inte hitta den primitiva funktionen innan vi sätter in integrationsgränserna? För som sagt är f(x) den primitiva funktionen till f'(x) Sätter vi in 3 och 1 i f'(x) är det som att sätta in dessa i f(x) istället för F(x) (den primitiva)?

Dr.scofield skrev:

Men bör vi inte hitta den primitiva funktionen innan vi sätter in integrationsgränserna? För som sagt är f(x) den primitiva funktionen till f'(x) Sätter vi in 3 och 1 i f'(x) är det som att sätta in dessa i f(x) istället för F(x) (den primitiva)?

Nej, det behövs inte.

Det gäller generellt att $\int_{a}^{b}f'(x)\operatorname dx=f(b)-f(a)$.

I detta fallet är f'(x) = 1+ln(x), a = 1, b = 3, vilket betyder att integralens värde är f(3)-f(1).

Eftersom grafen till y = f(x) visas i bilden så kan vi direkt läsa av f(3) och f(1).

Precis, men i den uträkningen sätter vi in 3 och 1 i (1+ln x) dvs i f'(x) istället för f(b) och f(a) vilket är fel, eller?

Figuren visar en primitiv funktion! Den visar alltså inte integranden (1+ln x).

Talen 3 och 1 ska inte sättas in i $(1+\ln x)$, d.v.s. 3 och 1 ska inte sättas in i $f^\prime(x)$. De ska sättas in i dess primitiva funktion. Man behöver inte räkna ut den primitiva funktionen till (1+ln x) eftersom den redan är given via figuren. 

Tack!