bestäm k i en frekvensfunktion

Givet är frekvensfunktionen f(x) = kx om 0 < x < 1 annars 0

bestäm k

så jag tänker att vi måste först kolla att det är en frekvensfunktion vilket vi gör genom att se så 

f(x) >= 0

detta talar om att k får inte vara negativt för då hamnar f(x) < 0

Vidare så gäller också

${\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)dx =\hspace{0.17em}1$

det jag inte riktigt förstår är varför vi kan ersätta gränserna med följande integral

${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx =\hspace{0.17em}1$

det är mitt första problem. löser jag sedan den integralen får jag

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = k{\int }_0^{1}xdx= k{{\left[\frac{x^2}{2}\right]}^1}_0 =\hspace{0.17em}k\frac{1}{2} - 0 \\ k =\hspace{0.17em}2 \end{gathered}$$

och det funkar ju bra men säg att man inte flyttar ut k framför integralen och istället får

${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = {{\left[k\frac{x^2}{2}\right]}^1}_0 =\hspace{0.17em}k\frac{1}{2} - k0$

i detta fall blir jag lite kluven borde jag inte hitta den primtiva funktionen till kx? varför är det okej att enbart hitta den primitiva funktionen till x?