7 svar
148 visningar
Dexters laboratorium behöver inte mer hjälp
Dexters laboratorium 86
Postad: 18 aug 2023 16:23

Bestäm koefficienten framför x^2 i utveckling av (2x^2 − 3/x)^12!

Hej! 

Som titlen säger så ska jag lösa den här uppgiften, 

Bestäm koefficienten framför x^6 i utveckling av (2x^2 − 3/x)^12. Enligt facit så kommer svaret bli: 126 2636alltså måste jag använda kombinatoriska principer för att lösa uppgiften men jag vet inte hur.. skulle upskatta om jag får hjälp med hur jag ska tänka med den här uppgiften. 

Tack i förhand.

Smutstvätt 24877 – Moderator
Postad: 18 aug 2023 16:27

Har du använt binomialsatsen tidigare? :)

Dexters laboratorium 86
Postad: 18 aug 2023 16:37

Vi har gått igenom den men jag tänkte inte att jag kunde använda den. Binomial satsen såg här ut,

(x+y)n=k=0nnk nn-k bk

hur vet man att det är binomialsatsen som gäller? och hur fortsätter jag nu?

Smutstvätt 24877 – Moderator
Postad: 18 aug 2023 16:48

När det gäller att utveckla uttryck på formen (a+b)n(a+b)^n, är det ofta binomialsatsen som behövs. :)

Nästan! nn-kn^{n-k} ska vara xn-kx^{n-k}, och bkb^k är yky^k. Det betyder för denna uppgift att:

2x2-3x12=k=01212k·2x212-k·3xk

Men, i detta fall behöver vi fokusera på faktorerna x2x^2 och 3x. Om k=tk=t, får vi termen: 

12t2x212-t·3xt

Vilket värde på t ger x6x^6 (multiplicerad med något tal)? :)

Dexters laboratorium 86
Postad: 18 aug 2023 16:49

t måste vara 6, i och med att vi vill att det ska vara x^6.

Smutstvätt 24877 – Moderator
Postad: 18 aug 2023 17:07

Vi provar! Då får vi 

1262x212-6·3x6=1262x26·3x6=12626·36·x12·1x6=12626·36·x6

Det stämmer! Då blir faktorn framför x6x^6 lika med 12626·36.

 

Om uppgiften hade varit lite annorlunda, exempelvis x3+1x12, då behövs en algebraisk metod. Den går ut på att i runda slängar räkna såhär: 

För vilket t fås faktorn x6x^6? Vi vill hitta det t som löser ekvationen x312-t·1xt=x6. Förenkling ger då: 

x312-t·1xt=x6x36-3t·x-t=x6x36-3t-t=x6x36-4t=x636-4t=64t=30t=7,5

Eftersom heltalslösningar saknas, kommer utvecklingen av uttrycket x3+1x12 inte att innehålla någon x6x^6-term. 

Hade vi exempelvis fått svaret t=8t=8‚ hade vi satt in det värdet i uttrycket 12tx312-t·1xt och beräknat koefficienten framför x6x^6. :)

Dexters laboratorium 86
Postad: 18 aug 2023 17:32

Tack bästa! Tackar så hemskt mycket! Väldigt bra förklarat och smidigt! :D

Smutstvätt 24877 – Moderator
Postad: 18 aug 2023 17:56

Varsågod! :)

Svara
Close