Bestäm koefficienten framför x^2 i utveckling av (2x^2 − 3/x)^12!

Har du använt binomialsatsen tidigare? :)

Vi har gått igenom den men jag tänkte inte att jag kunde använda den. Binomial satsen såg här ut,

${(x+y)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) n^{n-k} b^k$

hur vet man att det är binomialsatsen som gäller? och hur fortsätter jag nu?

När det gäller att utveckla uttryck på formen $(a+b)^n$, är det ofta binomialsatsen som behövs. :)

Nästan! $n^{n-k}$ ska vara $x^{n-k}$, och $b^k$ är $y^k$. Det betyder för denna uppgift att:

${\left(2x^2-\frac{3}{x}\right)}^{12}=\sum _{k=0}^{12}\left(\begin{array}{c}12\\ k\end{array}\right)·{\left(2x^2\right)}^{12-k}·{\left(\frac{3}{x}\right)}^k$

Men, i detta fall behöver vi fokusera på faktorerna $x^2$ och $\frac{3}{x}$. Om $k=t$, får vi termen: 

$\left(\begin{array}{c}12\\ t\end{array}\right){\left(2x^2\right)}^{12-t}·{\left(\frac{3}{x}\right)}^t$

Vilket värde på t ger $x^6$ (multiplicerad med något tal)? :)

t måste vara 6, i och med att vi vill att det ska vara x^6.

Vi provar! Då får vi 

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}12\\ 6\end{array}\right){\left(2x^2\right)}^{12-6}·{\left(\frac{3}{x}\right)}^6=\left(\begin{array}{c}12\\ 6\end{array}\right){\left(2x^2\right)}^6·{\left(\frac{3}{x}\right)}^6= \\ \left(\begin{array}{c}12\\ 6\end{array}\right)2^6·3^6·x^{12}·\frac{1}{x^6}=\left(\begin{array}{c}12\\ 6\end{array}\right)2^6·3^6·x^6 \end{gathered}$$

Det stämmer! Då blir faktorn framför $x^6$ lika med $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\end{array}\right)2^6·3^6$.

Om uppgiften hade varit lite annorlunda, exempelvis ${\left(x^3+\frac{1}{x}\right)}^{12}$, då behövs en algebraisk metod. Den går ut på att i runda slängar räkna såhär: 

För vilket t fås faktorn $x^6$? Vi vill hitta det t som löser ekvationen ${\left(x^3\right)}^{12-t}·{\left(\frac{1}{x}\right)}^t=x^6$. Förenkling ger då: 

$$\begin{gathered} x^{3\left(12-t\right)}·\frac{1}{x^t}=x^6 \\ {x}^{36-3t}·x^{-t}=x^6 \\ {x}^{36-3t-t}=x^6 \\ {x}^{36-4t}=x^6 \\ 36-4t=6 \\ 4t=30 \\ t=7,5 \end{gathered}$$

Eftersom heltalslösningar saknas, kommer utvecklingen av uttrycket ${\left(x^3+\frac{1}{x}\right)}^{12}$ inte att innehålla någon $x^6$-term. 

Hade vi exempelvis fått svaret $t=8$‚ hade vi satt in det värdet i uttrycket $\left(\begin{array}{c}12\\ t\end{array}\right){\left(x^3\right)}^{12-t}·{\left(\frac{1}{x}\right)}^t$ och beräknat koefficienten framför $x^6$. :)

Tack bästa! Tackar så hemskt mycket! Väldigt bra förklarat och smidigt! :D

Varsågod! :)