Bestäm komponenterna av denna tensor

Vad var fråga b) och vad fick du på den?

PATENTERAMERA skrev:

Vad var fråga b) och vad fick du på den?

Den kunde inte jag heller lösa tyvärr. Men den såg ut såhär: 

En vektor transformeras enligt

$a{\text{'}}_i={\Lambda }_{ik}{a}_k$. Där ${\Lambda }_{ik}$=e’_i•e_k.

En andra ordningens tensor skall transformeras som

$T{\text{'}}_{ij}={\Lambda }_{ik}{\Lambda }_{jl}{T}_{kl}$. Du kan skriva detta med matriser som $T\text{'}=\Lambda T{\Lambda }^T$.

Detta har du säkert sett någon gång.

PATENTERAMERA skrev:

En vektor transformeras enligt

$a{\text{'}}_i={\Lambda }_{ik}{a}_k$. Där ${\Lambda }_{ik}$=e’_i•e_k.

En andra ordningens tensor skall transformeras som

$T{\text{'}}_{ij}={\Lambda }_{ik}{\Lambda }_{jl}{T}_{kl}$. Du kan skriva detta med matriser som $T\text{'}=\Lambda T{\Lambda }^T$.

Detta har du säkert sett någon gång.

Ja asså jag tog facits lösning på b) vilket är typ samma sak. Det där du skrev står också i boken. 

Ja, ser rätt ut.

På c) så kan du först bestämma matrisen L. Och sedan beräkna T’. 

Titta på den uppgift som vi gjorde för en tid sedan. Här roterar vi koordinatsystem på liknande sätt. Det hjälper dig att beräkna L.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, ser rätt ut.

På c) så kan du först bestämma matrisen L. Och sedan beräkna T’. 

Titta på den uppgift som vi gjorde för en tid sedan. Här roterar vi koordinatsystem på liknande sätt. Det hjälper dig att beräkna L.

Hur börjar jag med matrisen L? Det här ska man använda vet jag. Men sen har vi a'_i=L_ik*a_k , hur använder den ?

Det verkar som att jag klantade till mig här för jag får inte riktigt samma matris som facit på Lij. Jag vet inte vad som gått snett här.

Nja. Oprimmade är före och primmade är efter, så din första figur visar både före och efter. Dvs du får de primmade genom att vrida de oprimmade vinkeln alfa kring x₃-riktningen. Det är vad du gjort i första figuren. Jag förstår inte vad den andra figuren skall visa.

PATENTERAMERA skrev:

Nja. Oprimmade är före och primmade är efter, så din första figur visar både före och efter. Dvs du får de primmade genom att vrida de oprimmade vinkeln alfa kring x₃-riktningen. Det är vad du gjort i första figuren. Jag förstår inte vad den andra figuren skall visa.

Jag förstod som att man ska hela tiden vrida e_1' , e_2' och e_3' kring  e_3 med en vinkel. Före rotationen ser de ut såhär och efter vridningen ser de ut såhär (andra bilden). Enhetsvektorerna i det oprimmade system är ortogonala mot varandra och i det primmade system är de också ortogonala mot varandra. Jag tolkar som att de primmade enhetsvektorerna inte var vridna i min första bild.

Facit och mitt svar verkar inte stämma överens på T'_ij  . Varför?

$T\text{'}=LT{L}^T=\left[\begin{array}{ccc}c& -s& 0\\ s& c& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}c& s& 0\\ -s& c& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c\\ s\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}c& s& 0\end{array}\right]=...$

PATENTERAMERA skrev:

$T\text{'}=LT{L}^T=\left[\begin{array}{ccc}c& -s& 0\\ s& c& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}c& s& 0\\ -s& c& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c\\ s\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}c& s& 0\end{array}\right]=...$

Ja jag använde chatgpt:s metod så det funkade.  Den gjorde samma sak. Men visst stämmer min vridning med e_3 i #10?

Lite svårt att förstå den. Börja med ett läge där de primmade och oprimmade vektorerna sammanfaller. Vrid sedan de primmade vektorerna en vinkel alfa medurs eller moturs kring x₃ axeln.

PATENTERAMERA skrev:

Lite svårt att förstå den. Börja med ett läge där de primmade och oprimmade vektorerna sammanfaller. Vrid sedan de primmade vektorerna en vinkel alfa medurs eller moturs kring x₃ axeln.

Ja asså det är såhär jag har gjort i bilden ovan. Jag vet verkligen inte hur du tänker dig att det ska se ut.  I en annan tråd så höll du med om en liknande bild som denna under (om vi struntar i efter rotation meningen). Denna bild nedan verkar vara en korrekt vridning enligt en liknande tråd vi har haft.

Jag förstår inte bilden. För grötig. Tex kan väl inte w och v båda vara lika med alfa.

PATENTERAMERA skrev:

Jag förstår inte bilden. För grötig. Tex kan väl inte w och v båda vara lika med alfa.

Men jag försökte rita som bilden i förra tråden där du gav tips om bordet och pennan. Bilderna kanske inte liknar varandra justnu , men jag följde i alla fall det här tipset nedan.

"Tänk dig ett bord. Bordsytan är nu x₁x₂-planet. x₃-axeln är vinkelrät mot bordsytan, vi säger uppåt riktad. Lägg två pennor på bordet och tänk dig att de representerar x₁-axeln och x₂-axeln. Eftersom vi skall vrida kring x₃-axeln händer ingenting med x₃-axeln, dvs x’₃-axeln sammanfaller med x₃-axeln. Pennorna vrids nu medurs med vinkeln alfa på bordsytan. Efter vridning representerar pennorna de nya axlarna, dvs x’₁-axeln och x’₂-axeln. Gör detta så får du kanske en känsla för det hela."

PATENTERAMERA skrev:

Hur vet man att det ska stå pi/2-alfa? I den andra bilden från gamla tråd så har du inte rättat vinkeln eller så.

Eftersom vinkeln mellan e₁ och e₂ är pi/2.

PATENTERAMERA skrev:

Eftersom vinkeln mellan e₁ och e₂ är pi/2.

Man kan väl också tänka att vinkeln e2' och e1'  är pi/2 också?

Ja, det måste det vara, annars har vi inte Kartesiska koordinatsystem.