Bestäm konstanten för den standardiserade normalfördelningen

Det går även slå i en tabell som t.ex.:

http://www.maths.lth.se/matstat/kurser/tabeller/tabeller.pdf

Plus lägg till en linjär-interpolering mellan 0.62 och 0.63

Kan det lösas algebraiskt då? Tipset anger "Använd den allmänna normalfördelningens täthetsfunktion ", alltså jag tror att det borde gå att utnyttja...

Nu är det flera decennier sedan jag också ställdes inför problematiken att lösa den där integralen.
Jag minns ändå med bestämdhet, att min lärare avrådde från ett sådant försök....men vi har ju duktiga matematiker här på PA! Publicera problemet som en "kluring", så kanske dom vaknar :-)

Hej!

Slumpvariabeln $X$ är normalfördelad med väntevärdet $\mu=0$ och variansen $\sigma^2 = 1$. Du vill beräkna det tal ($k$) som är sådant att sannolikheten $\displaystyle P(X\leq k)=0,625.$

För denna normalfördelning gäller tre tumregler: 

• $P(-1\leq X \leq 1) = 0,68$
• $P(-2\leq X \leq 2) = 0,95$
• $P(-3\leq X \leq 3) = 0,995$

Dessutom gäller det att $P(X\leq 0) = 0,50$. 

Du vet att $0,50 \leq 0,625 \leq 0.68$ så det betyder att det sökta talet ($k$) ligger någonstans mellan $0$ och $1$.

    $\displaystyle\int_{-\infty}^{k}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx = 0,625.$ 

Detta är samma sak som att bestämma det tal $k$ som är sådant att $\Phi(k) = 0,625$, vilket är talet

    $\displaystyle k = \Phi^{-1}(0,625),$

där $\Phi$ betecknar fördelningsfunktionen för din normalfördelning och $\Phi^{-1}$ betecknar inversen till fördelningsfunktionen $\Phi$.

Albiki skrev:

Hej!

Slumpvariabeln $X$ är normalfördelad med väntevärdet $\mu =0$ och variansen ${\sigma }^2=1$. Du vill beräkna det tal ($k$) som är sådant att sannolikheten ${\displaystyle P(X\le k)=0,625.}$

För denna normalfördelning gäller tre tumregler: 

• $P(-1\le X\le 1)=0,68$
• $P(-2\le X\le 2)=0,95$
• $P(-3\le X\le 3)=0,995$

Dessutom gäller det att $P(X\le 0)=0,50$. 

Du vet att $0,50\le 0,625\le 0.68$ så det betyder att det sökta talet ($k$) ligger någonstans mellan $0$ och $1$.

    ${\displaystyle {\int }_{-\infty }^k\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}} dx=0,625.}$ 

Detta är samma sak som att bestämma det tal $k$ som är sådant att $\Phi \left(k\right)=0,625$, vilket är talet

    ${\displaystyle k={\Phi }^{-1}(0,625),}$

där $\Phi$ betecknar fördelningsfunktionen för din normalfördelning och ${\Phi }^{-1}$ betecknar inversen till fördelningsfunktionen $\Phi$.

Vi vet redan att normalfördelnings-tabeller ger ett svar med $k\approx 0.734$

DreamChild söker dock en algebraisk lösning på integralen

Affe Jkpg skrev:

Albiki skrev:

Hej!

Slumpvariabeln $X$ är normalfördelad med väntevärdet $\mu =0$ och variansen ${\sigma }^2=1$. Du vill beräkna det tal ($k$) som är sådant att sannolikheten ${\displaystyle P(X\le k)=0,625.}$

För denna normalfördelning gäller tre tumregler: 

• $P(-1\le X\le 1)=0,68$
• $P(-2\le X\le 2)=0,95$
• $P(-3\le X\le 3)=0,995$

Dessutom gäller det att $P(X\le 0)=0,50$. 

Du vet att $0,50\le 0,625\le 0.68$ så det betyder att det sökta talet ($k$) ligger någonstans mellan $0$ och $1$.

    ${\displaystyle {\int }_{-\infty }^k\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}} dx=0,625.}$ 

Detta är samma sak som att bestämma det tal $k$ som är sådant att $\Phi \left(k\right)=0,625$, vilket är talet

    ${\displaystyle k={\Phi }^{-1}(0,625),}$

där $\Phi$ betecknar fördelningsfunktionen för din normalfördelning och ${\Phi }^{-1}$ betecknar inversen till fördelningsfunktionen $\Phi$.

Vi vet redan att normalfördelnings-tabeller ger ett svar med $k\approx 0.734$

DreamChild söker dock en algebraisk lösning på integralen

 Fast då har det blivit pannkaka i tabellerna. $\Phi(0.734) \approx 0,769 \neq 0,625$.

Någon algebraisk lösning på integralen existerar inte. Den primitiva funktionen är inte elementär, och det bästa man kan göra är att uttrycka funktionen med Taylorserier, vilket ändå bara ger en approximation. Visst kan man krångla med $\text{erf}$-funktioner, men sådana funktioner kan man ändå bara ta fram närmevärden för. Svaret på $k$ blir:

$k=\sqrt{2}\ \text{erf}^{-1}(\dfrac{1}{4}) \approx 0,318639$

Det finns ett trick där man kan lösa en sådan integral med lite flervariabelanalys om gränserna vore $[- \infty, \infty]$ eller $[0,\infty]$, men det går inte med en konstant $k$.