Bestäm konstanten k så att värdet av vektorfältet blir en vektor parallell med r

Dina räkningar är lite röriga så jag har svårt att snabbt få en överblick men det ser rätt ut fram till deltakontraktionerna. Utnyttja att (jag har bytt ut $k$ mot $q$ eftersom du använder k som index också).

$\partial_j(r^q)=qr^{q-2}r_j$

Du kommer få kvar termer som innehåller $r_i$ och de pekar ju automatiskt åt rätt håll (dvs är parallella med $\mathbf{r}$). Du får också kvar termer som innehåller $a_i$ och de behöver summera till 0 eftersom $a_i$ kan peka åt godtyckligt håll. Det kan också underlätta att applicera indexbyten (genom $\delta$) innan du deriverar.

D4NIEL skrev:

Dina räkningar är lite röriga så jag har svårt att snabbt få en överblick men det ser rätt ut fram till deltakontraktionerna. Utnyttja att (jag har bytt ut $k$ mot $q$ eftersom du använder k som index också).

$\partial_j(r^q)=qr^{q-2}r_j$

Du kommer få kvar termer som innehåller $r_i$ och de pekar ju automatiskt åt rätt håll (dvs är parallella med $\mathbf{r}$). Du får också kvar termer som innehåller $a_i$ och de behöver summera till 0 eftersom $a_i$ kan peka åt godtyckligt håll. Det kan också underlätta att applicera indexbyten (genom $\delta$) innan du deriverar.

Visa spoiler

$\partial_m(r^qr_ia_m)-\partial_l(r^qr_la_i)=qr^{q-2}r_ma_mr_i-(q+2)r^qa_i$

Nu måste $(q+2)=0$ för att inte ge $a_i$ överlevnadschanser 

Men jag förstår inte vad som är fel med min lösning. jag hänger inte heller på hur du gör.  Varför är derivatan av r_k inte k*r_k^(k-1)?

Tänk på att $r$ är en funktion $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

$\partial_j (r^k)$ betyder alltså $\displaystyle \nabla \left((x^2+y^2+z^2)^{k/2}\right)$

$\nabla \left(r^q\right)=\frac{d{r}^q}{dr}\nabla r=q{r}^{q-1}\frac{\overrightarrow{r}}{r}=q{r}^{q-2}\overrightarrow{r}$

D4NIEL skrev:

Tänk på att $r$ är en funktion $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

$\partial_j (r^k)$ betyder alltså $\displaystyle \nabla \left((x^2+y^2+z^2)^{k/2}\right)$

Ja okej så vi behöver derivera x , y och z komponentvis med roten ur?

Ja, eller använda någon formel ni lärt er för att hantera $\nabla r$ som Patenteramera visar.

D4NIEL skrev:

Ja, eller använda någon formel ni lärt er för att hantera $\nabla r$ som Patenteramera visar.

För vi får ju k/2r^(k-2)/2.

Nja,

$\nabla r = \partial_j r= \frac{\mathbf{r}}{r}=\hat{r}$

$\partial_j( r^q) =qr^{q-1}\partial_jr=qr^{q-1}\hat{r}=qr^{k-2}r_j$

D4NIEL skrev:

Nja,

$\nabla r = \partial_j r= \frac{\mathbf{r}}{r}=\hat{r}$

$\partial_j( r^q) =qr^{q-1}\partial_jr=qr^{q-1}\hat{r}=qr^{k-2}r_j$

Men r=sqrt(x^2+y^2+z^2)?

D4NIEL skrev:

Nja,

$\nabla r = \partial_j r= \frac{\mathbf{r}}{r}=\hat{r}$

$\partial_j( r^q) =qr^{q-1}\partial_jr=qr^{q-1}\hat{r}=qr^{k-2}r_j$

Men jag får 2k*r^k-2*r. Var försvann 2an?

Du får visa hur du räknar så kan vi säkert reda ut var det går galet.

Tänk på att $r^k=\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^{\frac k2}$, det ramlar ju ned en $\frac k2$ om du räknar i $(x,y,z)$ till exempel.

D4NIEL skrev:

Du får visa hur du räknar så kan vi säkert reda ut var det går galet.

Tänk på att $r^k=\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^{\frac k2}$, det ramlar ju ned en $\frac k2$ om du räknar i $(x,y,z)$ till exempel.

Ja okej jag förstår nu tack vare AI:s exempel på det.  Men jag trodde r var bara en vanlig vektor som inte är en funktion av (x,y,z). Hur som helst nu har jag detta och skall hitta värdet k då A är parallell med r. Hur gör jag det? Ska man sätta hela den termen lika med r då ?

Om du till exempel får $A=c_1\mathbf{r}+c_2\mathbf{a}$ där vektor $\mathbf{a}$ får vara vad som helst måste $c_2=0$ för att $A$ och $\mathbf{r}$ ska vara parallella.

Ett annat sätt att se det är att $A=\lambda\mathbf{r}$ för något tal $\lambda\in \mathbb{R}$

Ett tredje sätt är att notera att $\mathbf{r}\times A=0$ om $A$ och $\mathbf{r}$ är parallella.

Du verkar inte ha landat i helt rätt uttryck för $A$ eller också misstolkar jag vad du skriver.

D4NIEL skrev:

Om du till exempel får $A=c_1\mathbf{r}+c_2\mathbf{a}$ där vektor $\mathbf{a}$ får vara vad som helst måste $c_2=0$ för att $A$ och $\mathbf{r}$ ska vara parallella.

Ett annat sätt att se det är att $A=\lambda\mathbf{r}$ för något tal $\lambda\in \mathbb{R}$

Ett tredje sätt är att notera att $\mathbf{r}\times A=0$ om $A$ och $\mathbf{r}$ är parallella.

Du verkar inte ha landat i helt rätt uttryck för $A$ eller också misstolkar jag vad du skriver.

Jaha okej. Jag vet inte om A ska ha något uttryck,det står justnu a_i på första och sista termen och sen a_j på andra termen.  Jag jobbade bara med derivatan av r^k_k vilket vi kom fram till var kr^k-2r. Så sista termen och andra termen ska vara 0 då?

Du fick

$=a_jr_iqr^{q-2}r_j-a_ir_jqr^{q-2}r_j-2a_ir^{q}$

Nu är $r_jr_j=r^2$ och därmed får vi

$(A)_i=a_jr_iqr^{q-2}r_j-(q+2)r^qa_i$

i vektornotation blir det $r_ja_j\to \mathbf{r}\cdot \mathbf{a}$

$A=qr^{q-2}(\mathbf{r}\cdot \mathbf{a})\mathbf{r}-(q+2)r^q\mathbf{a}$

Vi inser att $A$ är parallell med $\mathbf{r}$ för alla vektorer $\mathbf{a}$ om $(q+2)=0$

D4NIEL skrev:

Du fick

$=a_jr_iqr^{q-2}r_j-a_ir_jqr^{q-2}r_j-2a_ir^{q}$

Nu är $r_jr_j=r^2$ och därmed får vi

$(A)_i=a_jr_iqr^{q-2}r_j-(q+2)r^qa_i$

i vektornotation blir det $r_ja_j\to \mathbf{r}\cdot \mathbf{a}$

$A=qr^{q-2}(\mathbf{r}\cdot \mathbf{a})\mathbf{r}-(q+2)r^q\mathbf{a}$

Vi inser att $A$ är parallell med $\mathbf{r}$ för alla vektorer $\mathbf{a}$ om $(q+2)=0$

Fast nu hänger jag inte med. Jag fick det här uttrycket. Var kommer extra rj ifrån? Det hade inte jag. Vad gör du med a_j och r_i i första termen? Sen finns det ett r i båda termerna utom den sista.

Jag förstår inte var den extra r_j kommer ifrån i din första rad. Det hade inte jag som sagt. 

I andra raden hänger jag inte alls med på vad du gör. Det är inte identiskt med vad som står i första raden. 

I tredje raden förstär jag inte var r_ja_j kommer ifrån som du använder. 

Såhär fortsatte jag då jag bröt ut gemensam faktor i första och andra termen

Det har det smugit sig med ett index $k$ extra på den skalära funktionen $r^k$ redan från början, här

När du deriverar har felet fortplantat sig hela vägen hit

Eftersom $r^k$ är en skalär funktion ska den inte ha något index. När du deriverar $r^k$ med avseende på index $j$ ska den ha få ett index (bli en gradient)

$\partial_j(r^k)=kr^{k-2}r_j$ <-- notera att det nu är en vektor.

Den första termen ska därför vara

$a_jr_i\partial_j(r^k)=a_jr_ikr^{k-2}r_j$ <-- notera att $i$ är fritt index, $j$ är bundet.

Är du med?

På samma sätt blir den andra termen

$-a_ir_jkr^{k-2}r_j$ <-- notera återigen att $i$ är ett fritt index, $j$ ska kontraheras.

När du kontraherar $j$ får du $r_jr_j=r^2$ och därmed kan du förenkla $r^{k-2}r^2=r^k$

D4NIEL skrev:

Det har det smugit sig med ett index $k$ extra på den skalära funktionen $r^k$ redan från början, här

När du deriverar har felet fortplantat sig hela vägen hit

Eftersom $r^k$ är en skalär funktion ska den inte ha något index. När du deriverar $r^k$ med avseende på index $j$ ska den ha få ett index (bli en gradient)

$\partial_j(r^k)=kr^{k-2}r_j$ <-- notera att det nu är en vektor.

Den första termen ska därför vara

$a_jr_i\partial_j(r^k)=a_jr_ikr^{k-2}r_j$ <-- notera att $i$ är fritt index, $j$ är bundet.

Är du med?

På samma sätt blir den andra termen

$-a_ir_jkr^{k-2}r_j$ <-- notera återigen att $i$ är ett fritt index, $j$ ska kontraheras.

När du kontraherar $j$ får du $r_jr_j=r^2$ och därmed kan du förenkla $r^{k-2}r^2=r^k$

Vill du visa varifrån r_j dyker upp? Jag hänger inte med på den biten. Jag suddade alla index k som r^k hade.

Index $j$ kommer från derivatan.

$\partial_j(r^k)=kr^{k-2}r_j$ <-- här dyker $j$ upp

Är du med?

D4NIEL skrev:

Index $j$ kommer från derivatan.

$\partial_j(r^k)=kr^{k-2}r_j$ <-- här dyker $j$ upp

Är du med?

Ja jag är med på att du deriverar men inte hur den uppstår med j som index.  förut sa vi att dj(r^k)=kr^(k-2)*r?

Men $\mathbf{r}$ är vektornotation, du får inte blanda vektornotation med indexnotation, åtminstone inte på samma sida om ett likhetstecken.

Vidare måste du följa indexreglerna. Om vänstersida har ett fritt index $j$ så måste också höger sida ha ett fritt index $j$. Alltså

$\partial_j(r^k)$ <-- har ett fritt index $j$

$kr^{k-2}r_j$ <-- har ett fritt index $j$

$kr^{k-2}\mathbf{r}$ <-- vektornotation, saknar index, får inte användas när vi räknar med index. Ibland skriver man lite slarvigt $\mathbf{r}=r_j$, men när du räknar måste du hålla indexen balanserade på båda sidor.

D4NIEL skrev:

Men $\mathbf{r}$ är vektornotation, du får inte blanda vektornotation med indexnotation, åtminstone inte på samma sida om ett likhetstecken.

Vidare måste du följa indexreglerna. Om vänstersida har ett fritt index $j$ så måste också höger sida ha ett fritt index $j$. Alltså

$\partial_j(r^k)$ <-- har ett fritt index $j$

$kr^{k-2}r_j$ <-- har ett fritt index $j$

$kr^{k-2}\mathbf{r}$ <-- vektornotation, saknar index, får inte användas när vi räknar med index.

Okej jag såg det bara som d(r^k) utan index . Men med index så blir det då multiplicetat med r_j då vi deriverar map på en index. När man skriver r=r_j , menar man r=(x_j,y_j,z_j)?

Ja, fast utan index $j$.  $j$ får löpa från 1 till 3 eller från $x$ till $z$, så här

$r_j=(x,y,z)$ eller ibland $r_j=(x_1,x_2,x_3)$. Så till exempel $r_2=y$ och $r_1=x$

Man skriver ibland lite slarvigt att $\mathbf{r}=r_j$ eftersom det är lättare att "se" vad ett uttryck blir i vektornotation då. Men när du räknar måste du vara noga med att du har exakt lika många fria index på varje sida, samt att de heter samma.

Har du ett fritt index $j$ på höger sida måste du ha ett fritt index $j$ på vänster sida. 

D4NIEL skrev:

Ja, fast utan index.  $j$ får löpa från 1 till 3 eller från $x$ till $z$

$r_j=(x,y,z)$ eller ibland $r_j=(x_1,x_2,x_3)$. Så till exempel $r_2=y$ och $r_1=x$

Man skriver ibland lite slarvigt att $\mathbf{r}=r_j$ eftersom det är lättare att "se" vad ett uttryck blir i vektornotation då. Men när du räknar måste du vara noga med att du har exakt lika många fria index på varje sida, samt att de heter samma.

Har du ett fritt index $j$ på höger sida måste du ha ett fritt index $j$ på vänster sida. 

Ja ok men då förstår jag. Men då har jag denna term. I andra termen ser vi att rj*rj=r^2 som du sa och aj*rj=(r*a)?

Ja, men det blir ju (k+2) eftersom du har ett minustecken framför $a_ir^k$, eller hur?

Och nu måste $(k+2)a_ir^k$ summera till noll för att $A$ och $\mathbf{r}$ ska vara parallella för alla vektorer $a_i$.

D4NIEL skrev:

Ja, men det blir ju (k+2) eftersom du har ett minustecken framför $a_ir^k$, eller hur?

Och nu måste $(k+2)a_ir^k$ summera till noll för att $A$ och $\mathbf{r}$ ska vara parallella för alla vektorer $a_i$.

Ja precis det ska vara (k+2). Skrev fel. Juste vad händer med vänsterttermen om högerttermen summeras till 0?  Varför är just högerttermen så intresaant att titta på?

Vänstertermen är en vektor med $r_i$, dvs den pekar helt i riktningen $r_i$, dvs helt i riktning $\mathbf{r}$.

Högertermen är en vektor $a_i$, dvs den pekar helt i riktningen $\mathbf{a}$. Eftersom $\mathbf{a}$ är en godtycklig konstant vektor måste vi ta bort den så att vi är säkra på att vi bara har kvar saker som pekar i riktning $r_i$

Är du med?

D4NIEL skrev:

Vänstertermen är en vektor med $r_i$, dvs den pekar helt i riktningen $r_i$, dvs helt i riktning $\mathbf{r}$.

Högertermen är en vektor $a_i$, dvs den pekar helt i riktningen $\mathbf{a}$. Eftersom $\mathbf{a}$ är en godtycklig konstant vektor måste vi ta bort den så att vi är säkra på att vi bara har kvar saker som pekar i riktning $r_i$

Är du med?

Ja jag är med. Så du menar att vi dividerar  med a efter att han brutit ut a och sen delar allt med a så att vi får detta kvar? 

Nej, vi får inte dela med en vektor.

Vi behöver få denna term $a_ir^k(k+2)$ att bli $0$. Det enklaste är att sätta $(k+2)=0$ då blir den ju 0.

D4NIEL skrev:

Nej, vi får inte dela med en vektor.

Vi behöver få denna term $a_ir^k(k+2)$ att bli $0$. Det enklaste är att sätta $(k+2)=0$ då blir den ju 0.

Ok men du sa att a är en konstant vektor så den kan vi få bort , det var därför jag försökte dela med a. Varför ska vi bara ha kvar vänsttermen med r_i om a och r ska vara parallella?

Du har i princip en vektor $A$ som ser ut så här

$A=f\mathbf{r}+g\mathbf{a}$

Där $f$ och $g$ är skalära funktioner. Delen med $f\mathbf{r}$ är ju uppenbarligen parallell med $\mathbf{r}$.

Delen med $\mathbf{a}$ kan ju dock peka åt vilket håll som helst beroende på vad $\mathbf{a}$ är. Därför måste vi se till att det som står framför $\mathbf{a}$ blir noll. Är du med?

D4NIEL skrev:

Du har i princip en vektor $A$ som ser ut så här

$A=f\mathbf{r}+g\mathbf{a}$

Där $f$ och $g$ är skalära funktioner. Delen med $f\mathbf{r}$ är ju uppenbarligen parallell med $\mathbf{r}$.

Delen med $\mathbf{a}$ kan ju dock peka åt vilket håll som helst beroende på vad $\mathbf{a}$ är. Därför måste vi se till att det som står framför $\mathbf{a}$ blir noll. Är du med?

Jo jag är med. Det låter logiskt eftersom vi söker värdet på k sådant att någon funktion multiplicerat med r_i som pekar i den riktningen och då måste högertermen vara den som är parallell med A.