9 svar
138 visningar
Lisa Mårtensson är nöjd med hjälpen!
Lisa Mårtensson 521
Postad: 1 apr 2019

Bestäm koordinaterna för vektorerna

Här kommer en uppgift som jag skulle behöva hjälp med att komma igång med. Var ska jag börja? 

Så här lyder uppgiften:

I triangeln ABC, låt M vara mittpunkten på BC och N mittpunkten på BM. Då utgör vektorerna e1=AB¯ och e2=AC¯ en bas i planet. Bestäm koordinaterna för vektorerna f1=BC¯ och f2=AN¯ i denna bas. Uttryck även vektorerna e1,e2 i basen f1, f2.

Börja med att rita.

Lisa Mårtensson 521
Postad: 14 apr 2019 Redigerad: 14 apr 2019

Lisa Mårtensson 521
Postad: 16 apr 2019 Redigerad: 16 apr 2019

Genom vektoraddition vet vi att

AB+BC= AC                  e1         f1          e2

 

och att

 

f2 = AB + 14BC.

 

Alltså är f1=e2-e1   och f2 = e1+14(e2-e1) = 34e1+14e2.

Detta ger koordinaterna i basen ( e1, e2 ).

Om jag löser ut e1  och e2 får jag svaret på andra delfrågan, dvs, hur jag ska uttrycka vektorerna i basen f1 och f2.

Verkar jag vara rätt ute?

AlvinB 2757
Postad: 16 apr 2019 Redigerad: 16 apr 2019

Jag tycker beräkningarna ser rätt ut hittills (däremot har du ritat vektor f2f_2 åt fel håll i din bild!).

En metod för att uttrycka e1\vec{e_1} och e2\vec{e_2} i basen {f1,f2}\{\vec{f_1},\vec{f_2}\} är ju att betrakta det hela som ett ekvationssystem:

f1=e2-e1\vec{f_1}=\vec{e_2}-\vec{e_1}

f2=34e1+14e2\vec{f_2}=\dfrac{3}{4}\vec{e_1}+\dfrac{1}{4}\vec{e_2}

där du vill lösa ut för f1\vec{f_1} och f2\vec{f_2}. Det finns dock lite genvägar. Exempelvis kan du ju inse geometriskt att

e1=f2-14f1\vec{e_1}=\vec{f_2}-\dfrac{1}{4}\vec{f_1}

vilket gör det hela lite mindre beräkningstungt.

Lisa Mårtensson 521
Postad: 16 apr 2019 Redigerad: 16 apr 2019

e1 har vi då löst ut och skrivit i basen  f1och f2.

Om jag på samma sätt vill inse geometriskt vad e2 blir i basen  f1och f2 så är mitt förslag

e2=f2+34f1.  EDIT: Jag har nu ändrat till e2 i VL.

Stämmer detta och behöver jag visa samma resultat genom att lösa ekvationssystemet för att få rätt på denna uppgift, tror ni?

AlvinB 2757
Postad: 16 apr 2019
Lisa Mårtensson skrev:

e1 har vi då löst ut och skrivit i basen  f1och f2.

Om jag på samma sätt vill inse geometriskt vad e2 blir i basen  f1och f2 så är mitt förslag

e1=f2+34f1.

Stämmer detta och behöver jag visa samma resultat genom att lösa ekvationssystemet för att få rätt på denna uppgift, tror ni?

Ja, det stämmer, förutsatt att du menat att skriva e2\vec{e_2} istället för e1\vec{e_1}. :-)

Jag tycker geometriskt fungerar minst lika bra (om inte bättre) jämfört med att lösa det som ett ekvationssystem.

Lisa Mårtensson 521
Postad: 19 apr 2019
AlvinB skrev:

En metod för att uttrycka e1\vec{e_1} och e2\vec{e_2} i basen {f1,f2}\{\vec{f_1},\vec{f_2}\} är ju att betrakta det hela som ett ekvationssystem:

f1=e2-e1\vec{f_1}=\vec{e_2}-\vec{e_1}

f2=34e1+14e2\vec{f_2}=\dfrac{3}{4}\vec{e_1}+\dfrac{1}{4}\vec{e_2}

där du vill lösa ut för f1\vec{f_1} och f2\vec{f_2}.

 

Hur skulle man lösa detta ekvationssystem om man ändå ville göra det, trots att det inte är det enklaste sättet att lösa uppgiften?

AlvinB 2757
Postad: 4 dagar sedan Redigerad: 4 dagar sedan

Jag ser nu att jag skrev fel i mitt inlägg. Du skall såklart lösa ut för e1\vec{e_1} och e2\vec{e_2}.

Du kan ju exempelvis börja med att lösa ut e1\vec{e_1} ur:

f1=e2-e1\vec{f_1}=\vec{e_2}-\vec{e_1}

och sedan sätta in i

f2=34e1+14e2\vec{f_2}=\dfrac{3}{4}\vec{e_1}+\dfrac{1}{4}\vec{e_2}

Lisa Mårtensson 521
Postad: 3 dagar sedan Redigerad: 3 dagar sedan

Ja, just det. Jag förstod nästan det. 

Då har vi att 

e1=e2-f1.

Sedan sätter jag in uttrycket för e1 i uttrycket för vektorn f2:

f2=34·(e2-f1) + 14 e2.

Vilket i sin tur ger att

f2 =34e2-34  f1 + 14e2

och slutligen har vi löst för e2 så att 

e2=f2+34f1.

Svara Avbryt
Close