Bestäm koordinatvektorn (Matematik/Universitet/Linjär Algebra)

använd basen i a) för att projicera på V. Konvertera sedan ditt svar till basen i b)

oneplusone2 skrev:
använd basen i a) för att projicera på V. Konvertera sedan ditt svar till basen i b)

Hm jag förstår inte riktigt hur a) basen ska användas för att projicera på V? Det är ju olika baser i bilden på a) och b) uppgifterna.

projicera x på var en av basvektorerna i a). Addera ihop svaren för att få projektionen. Själva projektionerna beräknar du med den vanliga projektions formenl

r= (a*b)b/|b|^2

oneplusone2 skrev:
projicera x på var en av basvektorerna i a). Addera ihop svaren för att få projektionen. Själva projektionerna beräknar du med den vanliga projektions formenl

r= (a*b)b/|b|^2

Jag känner till projektionsformeln. Men V består av v, w och u vektorer. Menar du att vi ska addera proj_v(x) +proj_u(x) +proj_w(v) =proj_V(x)? Sen ska vi omvandla vektorn vi får ut till en vektor i basen y? Men kommer vektorn vi får ut av projektionen vara i basen V då?

Gör en enklare uppgift först kanske.

Projicera vektorn (1,1,1) på planet r=s(1,0,0)+t(0,1,0)

oneplusone2 skrev:
Gör en enklare uppgift först kanske.

Projicera vektorn (1,1,1) på planet r=s(1,0,0)+t(0,1,0)

Ja det är ju bara att ta kryssprodukten mellan riktningsvektorerna till planet som är på parameterform för att få n (normalvektor) och sen använda projektionsformeln. Den där frågan var super enkelt :)

Men V består av vektorerna u, v och w. Jag förstår inte vad som är felaktigt med det jag försökte fråga dig om i inlägget innan? I a) uppgiften kom man fram till att basen B är en ortgonal bas till V genom skalärprodukten och sen skrev vi w som en linjär kombination av u och v där vi kom fram till att w kan skrivas som en linjär kombination och vi fick att c1 , c2 är nollskilda. Alltså utgör v och u en ortogonal bas i V

Gör den uppgiften jag angav utan kryss. Som jag sa projicera x på de basvektorerna som jag angav.

oneplusone2 skrev:
Gör den uppgiften jag angav utan kryss. Som jag sa projicera x på de basvektorerna som jag angav.

Ja men du har inte förklarat varför man ska göra så. Jag vill gärna förstå varför man skall göra som du nämner. Sen tror jag det är bättre om vi håller oss till uppgiftslydelsen nu när jag har svarat på din exempeluppgift.

Förklara följande.

Vad menas med ortogonal projektion ( $P r o j_{V} (\vec{x})$ ) av en vektor $\vec{x}$ på ett underrum V?

Om du har en ortogonal bas $\{\vec{u}, \vec{v}\}$ för underrummet V, hur beräknar man då $P r o j_{V} (\vec{x})$ på lämpligt sätt?

Om du uttryckt en vektor med koordinater i basen $\{\vec{u}, \vec{v}\}$ , hur får du den då med koordinater i basen $\{\vec{v}, \vec{w}\}$ ?

PATENTERAMERA skrev:
Förklara följande.

Vad menas med ortogonal projektion ( $P r o j_{V} (\vec{x})$ ) av en vektor $\vec{x}$ på ett underrum V?

Om du har en ortogonal bas $\{\vec{u}, \vec{v}\}$ för underrummet V, hur beräknar man då $P r o j_{V} (\vec{x})$ på lämpligt sätt?

Om du uttryckt en vektor med koordinater i basen $\{\vec{u}, \vec{v}\}$ , hur får du den då med koordinater i basen $\{\vec{v}, \vec{w}\}$ ?

Om man vill beräkna proj_V(x)= proj_u(x)+proj_v(x). Men V består även av u och w i basen Y , varför räknas inte dem som proj_V(x) och bara de vektorerna i a) som är ortogonala mot varandra i V och är linjärt oberoende?

Du kan beräkna $P r o j_{V} (\vec{x}) = \frac{(\vec{u} ∙ \vec{x})}{{|\vec{u}|}^{2}} \vec{u} + \frac{(\vec{v} ∙ \vec{x})}{{|\vec{v}|}^{2}} \vec{v}$ , men det fungerar eftersom beta är en ortogonal bas för V.

För att uttrycka projektionsvektorn relativt gamma-basen så skulle jag sedan utnyttja att

$\vec{w} = \vec{v} - 2 \vec{u}$ , dvs $\vec{u} = \frac{\vec{v} - \vec{w}}{2}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Du kan beräkna $P r o j_{V} (\vec{x}) = \frac{(\vec{u} ∙ \vec{x})}{{|\vec{u}|}^{2}} \vec{u} + \frac{(\vec{v} ∙ \vec{x})}{{|\vec{v}|}^{2}} \vec{v}$ , men det fungerar eftersom beta är en ortogonal bas för V.

För att uttrycka projektionsvektorn relativt gamma-basen så skulle jag sedan utnyttja att

$\vec{w} = \vec{v} - 2 \vec{u}$ , dvs $\vec{u} = \frac{\vec{v} - \vec{w}}{2}$ .

Det här med att hitta koordinatvektorn är inte ett problem för mig, det är ju bara att hitta [a , b] i basen Y så att man kommer till den uträknade vektorn.

Men jag fastnar lite på det här med ortogonal projektion, i många fall kan man beräkna ortogonalprojektion mellan två vektorer utan att de är vinkelrät mot varandra ,men här måste de två basvektorerna i a) vara vinkelräta för att genomföra projektionsformeln , vilket förvirrar mig lite. Om man vill genomföra projektionsformeln i basen Y funkar det inte för att u och w är inte ortogonala. Tar man tex random vektorer som tex svarta bilden nedan så funkar det att använda projektionsformeln.

Ett exempel är denna bild nedan. Här är vektorerna icke ortogonala.

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du kan beräkna $P r o j_{V} (\vec{x}) = \frac{(\vec{u} ∙ \vec{x})}{{|\vec{u}|}^{2}} \vec{u} + \frac{(\vec{v} ∙ \vec{x})}{{|\vec{v}|}^{2}} \vec{v}$ , men det fungerar eftersom beta är en ortogonal bas för V.

För att uttrycka projektionsvektorn relativt gamma-basen så skulle jag sedan utnyttja att

$\vec{w} = \vec{v} - 2 \vec{u}$ , dvs $\vec{u} = \frac{\vec{v} - \vec{w}}{2}$ .

Det här med att hitta koordinatvektorn är inte ett problem för mig, det är ju bara att hitta [a , b] i basen Y så att man kommer till den uträknade vektorn.

Men jag fastnar lite på det här med ortogonal projektion, i många fall kan man beräkna ortogonalprojektion mellan två vektorer utan att de är vinkelrät mot varandra ,men här måste de två basvektorerna i a) vara vinkelräta för att genomföra projektionsformeln , vilket förvirrar mig lite. Om man vill genomföra projektionsformeln i basen Y funkar det inte för att u och w är inte ortogonala. Tar man tex random vektorer som tex svarta bilden nedan så funkar det att använda projektionsformeln.

Ett exempel är denna bild nedan. Här är vektorerna icke ortogonala.

Jag tror du blandar ihop saker och ting. Den ortogonala projektionen mellan två vinkelräta vektorer är 0.

oneplusone2 skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du kan beräkna $P r o j_{V} (\vec{x}) = \frac{(\vec{u} ∙ \vec{x})}{{|\vec{u}|}^{2}} \vec{u} + \frac{(\vec{v} ∙ \vec{x})}{{|\vec{v}|}^{2}} \vec{v}$ , men det fungerar eftersom beta är en ortogonal bas för V.

För att uttrycka projektionsvektorn relativt gamma-basen så skulle jag sedan utnyttja att

$\vec{w} = \vec{v} - 2 \vec{u}$ , dvs $\vec{u} = \frac{\vec{v} - \vec{w}}{2}$ .

Det här med att hitta koordinatvektorn är inte ett problem för mig, det är ju bara att hitta [a , b] i basen Y så att man kommer till den uträknade vektorn.

Men jag fastnar lite på det här med ortogonal projektion, i många fall kan man beräkna ortogonalprojektion mellan två vektorer utan att de är vinkelrät mot varandra ,men här måste de två basvektorerna i a) vara vinkelräta för att genomföra projektionsformeln , vilket förvirrar mig lite. Om man vill genomföra projektionsformeln i basen Y funkar det inte för att u och w är inte ortogonala. Tar man tex random vektorer som tex svarta bilden nedan så funkar det att använda projektionsformeln.

Ett exempel är denna bild nedan. Här är vektorerna icke ortogonala.

Jag tror du blandar ihop saker och ting. Den ortogonala projektionen mellan två vinkelräta vektorer är 0.

Ja jag håller med dig. Om man räknar ut ortgonala projektionen mellan vektorerna u och v i bilden ovan och tar sen skalärprodukten med u så får man 0. Fast du ser vektorn u och v i bilden inte är vinkelräta.

Påstår du att vinkeln mellan u-proj och u är 90 ? För det är den uppenbarligen inte enligt figuren.

oneplusone2 skrev:
Påstår du att vinkeln mellan u-proj och u är 90 ? För det är den uppenbarligen inte enligt figuren.

Det står ju en rät vinkeln vid u' och u_y är väl projektionen av u på v. Varför står det en rät vinkel mellan u' (u_x) och vektorn u_y om det inte innebär att dessa vektorer är vinkelräta mot varandra?

destiny99 skrev:
oneplusone2 skrev:
Påstår du att vinkeln mellan u-proj och u är 90 ? För det är den uppenbarligen inte enligt figuren.

Det står ju en rät vinkeln vid u' och u_y är väl projektionen av u på v. Varför står det en rät vinkel mellan u' (u_x) och vektorn u_y om det inte innebär att dessa vektorer är vinkelräta mot varandra?

Rita gärna en figur som förklarar vad du menar.

oneplusone2 skrev:
destiny99 skrev:
oneplusone2 skrev:
Påstår du att vinkeln mellan u-proj och u är 90 ? För det är den uppenbarligen inte enligt figuren.

Det står ju en rät vinkeln vid u' och u_y är väl projektionen av u på v. Varför står det en rät vinkel mellan u' (u_x) och vektorn u_y om det inte innebär att dessa vektorer är vinkelräta mot varandra?

Rita gärna en figur som förklarar vad du menar.

Man kan dela upp u vektorn i x och y komponenter. Vi ser att proj_v(u) är x-komponenten till u. v' och u_y är vinkelräta mot varandra.

Kan du använda andra bokstäver än u och v ? Svårt att särsklija.

oneplusone2 skrev:
Kan du använda andra bokstäver än u och v ? Svårt att särsklija.

Nu har jag infört andra beteckningar istället.

Rita samma figur fast med vinkeln mellan a och b större än 90 grader.

oneplusone2 skrev:
Rita samma figur fast med vinkeln mellan a och b större än 90 grader.

Ok bra. Åter till det här

"Men jag fastnar lite på det här med ortogonal projektion, i många fall kan man beräkna ortogonalprojektion mellan två vektorer utan att de är vinkelrät mot varandra ,"

Förklara gärna vad som är vinkelrätt mot vad i ditt påstående.

oneplusone2 skrev:
Ok bra. Åter till det här

"Men jag fastnar lite på det här med ortogonal projektion, i många fall kan man beräkna ortogonalprojektion mellan två vektorer utan att de är vinkelrät mot varandra ,"

Förklara gärna vad som är vinkelrätt mot vad i ditt påstående.

Ja jag menar att om vi har två vektorer som är a=(1,3,-2) och b= (2,2-1). Dessa två vektorer är inte ortogonala mot varandra ,men ändå beräknar ortogonalprojektion mellan dessa två. Medan i vår uppgift så kan man inte räkna ortogonalprojektion från V som består av (v,w) på x för att v och w inte är ortogonala. Varför är det så?

Den ortogonala projektionen går alltid att beräkna mellan 2 vektorer oavsett deras vinkel. Vinkel 90 och 180 eller 0 är specialfall som ger 0 vektorn samt ursprungsvektorn+/-. Med det sagt så kan du beräkna ortogonala projektionen på alla vektorer som du anger ovan. SKILLNADEN är att vi är egentligen inte ute efter ortogonala projektioner på enstaka vektorer, vi är intresserade av den ortogonala projektionen på ett "plan" som inte är samma sak.

.

oneplusone2 skrev:
Den ortogonala projektionen går alltid att beräkna mellan 2 vektorer oavsett deras vinkel. Vinkel 90 och 180 eller 0 är specialfall som ger 0 vektorn samt ursprungsvektorn+/-. Med det sagt så kan du beräkna ortogonala projektionen på alla vektorer som du anger ovan. SKILLNADEN är att vi är egentligen inte ute efter ortogonala projektioner på enstaka vektorer, vi är intresserade av den ortogonala projektionen på ett "plan" som inte är samma sak.

Jaha okej, men varför måste vektorerna i det planet vara vinkelräta mot varandra? Jag förstår när vi tex har ett plan skriven på ekvationform ax+by+cz=d och en given vektor och man frågas om att hitta projektionen av vektorn på planet, jag antar att det är samma tanke här? Normalvektorn till planet är ju vinkelrät mot planet och i vårt fall måste vektorerna i a) vara vinkelräta mot planet och mot varandra?

Se bilden ovan.

1. Beräkna u:s kordinater i basen e1,e2.
2.
a) beräkna u:s proj på e1
b) beräkna u:s proj på e2
c) addera ihop vektorerna från ovan
3.
a) beräkna u:s proj på e1
b) beräkna u:s proj på e3
c) addera ihop vektorerna från ovan
4.
Beräkna u:s kordinater i basen e1,e3

oneplusone2 skrev:

Ja e1 och e2 är vinkelrät mot varandra. Men e3 ser inte ut som det ?

Gör de uppgifterna som jag skrev under bilden ovan.

oneplusone2 skrev:
Gör de uppgifterna som jag skrev under bilden ovan.

Jag tror jag förstår detta nu. Tack för hjälpen.

Du var nöjd med hjälpen, men jag tar det från grunden så att det går in.

Säg att du har ett (äkta) underrum V till Rⁿ.

Vi vill nu dela upp en vektor $\vec{x}$ i en komposant $\vec{x}'$ som ligger i V och en komposant $\vec{x}''$ som är ortogonal mot V. Man kan visa att detta kan göras på ett enda sätt, dvs uppdelningen är unik.

Vi kallar den första komposanten för den ortogonala projektionen av $\vec{x}$ på V, som vi härefter skriver som $P r o j_{V} (\vec{x})$ .

Eftersom uppdelningen är unik så gäller det att $\vec{y} = P r o j_{V} (\vec{x})$ om och endast om $\vec{y} \in V$ och vektorn $\vec{x} - \vec{y}$ är ortogonal mot V, dvs ortogonal mot varje vektor i V.

Säg nu att vi har fått en bas $({\vec{b}}_{k}), k = 1, . ., m$ (m< n) för V.

Om vi nu ansätter $P r o j_{V} (\vec{x}) = \sum_{k} a_{k} {\vec{b}}_{k}$ så krävs det såldes att vektorn $\vec{x} - \sum_{k} a_{k} {\vec{b}}_{k}$ är ortogonal mot V, vilket är uppfyllt omm vektorn är ortogonal mot varje basvektor i vår bas.

Detta ger oss m ekvationer för de obekanta skalärerna a_k.

$(\vec{x} - \sum_{k} a_{k} {\vec{b}}_{k}) ∙ {\vec{b}}_{i} = 0, i = 1, . . ., m .$

Vi kan skriva om detta som

$\sum_{k} ({\vec{b}}_{i} ∙ {\vec{b}}_{k}) a_{k} = \vec{x} ∙ {\vec{b}}_{i}, i = 1, . . ., m .$ (A)

Om vi nu säger att vår bas är en ortogonal bas så gäller det att ${\vec{b}}_{i} ∙ {\vec{b}}_{k} = {|{\vec{b}}_{i}|}^{2} δ_{i k}$ (kronecker delta).

Om vi sätter in detta i (A) så får vi att

$\sum_{k} {|{\vec{b}}_{i}|}^{2} δ_{i k} a_{k} = {|{\vec{b}}_{i}|}^{2} a_{i} = \vec{x} ∙ {\vec{b}}_{i}$ , dvs $a_{i} = \frac{\vec{x} ∙ {\vec{b}}_{i}}{{|{\vec{b}}_{i}|}^{2}}, i = 1, . . ., m .$ Vilket är den kända formeln för projektionen då vi har ortogonal bas.

Om vi nu antar att vi inte har ortogonal bas så kan vi observera att (A) är ett antal linjära ekvationer som vi kan skriva på matrisform enligt

$[\begin{matrix} {\vec{b}}_{1} ∙ {\vec{b}}_{1} & \dots & {\vec{b}}_{1} ∙ {\vec{b}}_{m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {\vec{b}}_{m} ∙ {\vec{b}}_{1} & \dots & {\vec{b}}_{m} ∙ {\vec{b}}_{m} \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{m} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \vec{x} ∙ {\vec{b}}_{1} \\ ⋮ \\ \vec{x} ∙ {\vec{b}}_{m} \end{matrix}]$ . (A')

Om vi nu speciellt utgår från gamma-basen i vårt problem så kan (A') skrivas

$[\begin{matrix} \vec{v} ∙ \vec{v} & \vec{v} ∙ \vec{w} \\ \vec{v} ∙ \vec{w} & \vec{w} ∙ \vec{w} \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \vec{x} ∙ \vec{v} \\ \vec{x} ∙ \vec{w} \end{matrix}]$ , med insättning av värden så får vi

$[\begin{matrix} 7 & 7 \\ 7 & 31 \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix}]$ , som du kan lösa själv.