Bestäm kroppens volym

Kunde man ha gjort så här ?

Runt x-axeln ska det vara.

Hej, då den roterar kring x-axeln så följande gäller:

$$\begin{gathered} V =\hspace{0.17em}{\int }_{-3}^3\pi y^{2}dx \\ {y}^2={(9-x^2)}^2=(81-18x^2+x^4) \end{gathered}$$

...

kan man inte skriva om integralen ${(9-x^2)}^2$till $\frac{{(9-x^2)}^3}{3} ?$

Arup skrev:

kan man inte skriva om integralen ${(9-x^2)}^2$till $\frac{{(9-x^2)}^3}{3} ?$

Jag antar att du undrar om $\frac{(9-x^2)^3}{3}$ är en primitiv funktion till $(9-x^2)^2$?

Det är jättebra att våga gissa på primitiva funktioner, men det är då väldigt viktigt att vänja sig vid att kontrollera sina gissningar genom att derivera dem. Om du då får tillbaka integranden så var det en primitiv funktion, annars inte.

Vad får du då för resultat?

inte samma svar. Men borde en sådan genväg fungera eftersom när vi deriverar samman satta funktioner använder ju vi kedje-regeln finns det en sådan regel för integraler ?

Arup skrev:

inte samma svar. Men borde en sådan genväg fungera eftersom när vi deriverar samman satta funktioner använder ju vi kedje-regeln finns det en sådan regel för integraler ?

Nej, inte i allmänhet. Men ibland kan man känna igen vissa mönster.

Om du t.ex. har en funktion som är en produkt av två faktorer där den ena faktorn kan ses som en inre derivata så går det att klura ut hur en primitiv funktionen ska se ut.

Ett exempel:

Om funktionen är $3(x^2+1)\cdot2x$ så kanske du känner igen faktorn $2x$ som derivatan av $x^2+1$ och kan då gissa på att en primitiv funktion kan vara $(x^2+1)^3$. (Derivera och kontrollera)

Ett annat exempel:

Om funktionen är $e^{(x^3)}\cdot 3x^2$ så kanske du känner igen faktorn $3x^2$ som derivatan av $x^3$ och kan då gissa på att en primitiv funktion kan vara $e^{(x^3)}$. (Derivera och kontrollera)

Försök gärna hitta liknande egna exempel, t.ex. med trigonometriska funktioner eller logaritmfunktioner.

ok så om t ex har $\sin \left(2x\right)$blir dess derivata$2*\cos \left(2x\right)$

och om jag integrerqar det blir det då$\sin \left(2x\right)$

Arup skrev:

ok så om t ex har $\sin \left(2x\right)$blir dess derivata$2*\cos \left(2x\right)$

och om jag integrerqar det blir det då$\sin \left(2x\right)$

Ja, det stämmer.

Ett lite mer komplicerat exempel, kan du se vad en primitiv funktion till cos(x²)*2x skulle kunna vara?

är det $\frac{\sin \left(\frac{x^3}{3}\right)}{x^2}$+c ?

Yngve skrev:

Arup skrev:

inte samma svar. Men borde en sådan genväg fungera eftersom när vi deriverar samman satta funktioner använder ju vi kedje-regeln finns det en sådan regel för integraler ?

Nej, inte i allmänhet. Men ibland kan man känna igen vissa mönster.

Om du t.ex. har en funktion som är en produkt av två faktorer där den ena faktorn kan ses som en inre derivata så går det att klura ut hur en primitiv funktionen ska se ut.

Ett exempel:

Om funktionen är $3(x^2+1)\cdot2x$ så kanske du känner igen faktorn $2x$ som derivatan av $x^2+1$ och kan då gissa på att en primitiv funktion kan vara $(x^2+1)^3$. (Derivera och kontrollera)

Ett annat exempel:

Om funktionen är $e^{(x^3)}\cdot 3x^2$ så kanske du känner igen faktorn $3x^2$ som derivatan av $x^3$ och kan då gissa på att en primitiv funktion kan vara $e^{(x^3)}$. (Derivera och kontrollera)

Försök gärna hitta liknande egna exempel, t.ex. med trigonometriska funktioner eller logaritmfunktioner.

Jo, jag googlade på det där och man kunde använda variabelbyte s.k. U-substituion 

Arup skrev:

är det $\frac{\sin \left(\frac{x^3}{3}\right)}{x^2}$+c ?

Nej, tanken var att du skulle känna igen att 2x är derivatan av x², dvs att 2x är "inre derivatan" i uttrycket sin(x²).

Pröva att derivera sin(x²). Vad får du då?

Yngve skrev:

Arup skrev:

är det $\frac{\sin \left(\frac{x^3}{3}\right)}{x^2}$+c ?

Nej, tanken var att du skulle känna igen att 2x är derivatan av x², dvs att 2x är "inre derivatan" i uttrycket sin(x²).

Pröva att derivera sin(x²). Vad får du då?

Det här

oj, glömde ett x

Japp. Ser du då vad jag menade?

Äre att derivatan är motsatsen till integralen ?

Nej, det jag menade var att cos(x²)*2x har en primitiv funktion som är sin(x²) eftersom uttrycket cos(x²)*2x följer mönstret jag beskrev i svar #8.