Bestäm kroppens volym

Kunde man ha gjort så här ?

Runt x-axeln ska det vara.

Hej, då den roterar kring x-axeln så följande gäller:

$$\begin{gathered} V =\hspace{0.17em}{\int }_{-3}^3\pi y^{2}dx \\ {y}^2={(9-x^2)}^2=(81-18x^2+x^4) \end{gathered}$$

...

kan man inte skriva om integralen ${(9-x^2)}^2$till $\frac{{(9-x^2)}^3}{3} ?$

Arup skrev:

kan man inte skriva om integralen ${(9-x^2)}^2$till $\frac{{(9-x^2)}^3}{3} ?$

Jag antar att du undrar om $\frac{(9-x^2)^3}{3}$ är en primitiv funktion till $(9-x^2)^2$?

Det är jättebra att våga gissa på primitiva funktioner, men det är då väldigt viktigt att vänja sig vid att kontrollera sina gissningar genom att derivera dem. Om du då får tillbaka integranden så var det en primitiv funktion, annars inte.

Vad får du då för resultat?

inte samma svar. Men borde en sådan genväg fungera eftersom när vi deriverar samman satta funktioner använder ju vi kedje-regeln finns det en sådan regel för integraler ?

Arup skrev:

inte samma svar. Men borde en sådan genväg fungera eftersom när vi deriverar samman satta funktioner använder ju vi kedje-regeln finns det en sådan regel för integraler ?

Nej, inte i allmänhet. Men ibland kan man känna igen vissa mönster.

Om du t.ex. har en funktion som är en produkt av två faktorer där den ena faktorn kan ses som en inre derivata så går det att klura ut hur en primitiv funktionen ska se ut.

Ett exempel:

Om funktionen är $3(x^2+1)\cdot2x$ så kanske du känner igen faktorn $2x$ som derivatan av $x^2+1$ och kan då gissa på att en primitiv funktion kan vara $(x^2+1)^3$. (Derivera och kontrollera)

Ett annat exempel:

Om funktionen är $e^{(x^3)}\cdot 3x^2$ så kanske du känner igen faktorn $3x^2$ som derivatan av $x^3$ och kan då gissa på att en primitiv funktion kan vara $e^{(x^3)}$. (Derivera och kontrollera)

Försök gärna hitta liknande egna exempel, t.ex. med trigonometriska funktioner eller logaritmfunktioner.