Bestäm lutning av kurva i en punkt

Detta problem löses enklast med en metod som kallas implicit derivering/differentiering.

Rent abstrakt om man har en ekvation som definierar en kurva, av konvention skriven på noll-form

$f(x,y) = 0$

exempelvis

$x^2 - y^3 - 3 = 0$ i punkten (2,1)

så kan man finna lutningen i en viss punkt $(x_0,y_0)$ genom att först tänka sig att det finns en parametrisering av kurvan så att de två variablerna är beroende av någon tredje variabel $t$ och så deriverar man med avseende på denna tredje variabel

För mitt exempel

$x^2 - y^3 - 2 = 0$

$2x \frac{dx}{dt} - 3 y^2\frac{dy}{dt} = 0$

Sedan sätter man in punkten i ekvationen (x,y) = (2,1)

$2(2)\frac{dx}{dt} - 3 (1)^2\frac{dy}{dt} = 0$ (notera nu att $dx/dt$  och $dy/dt$ betecknar derivator i just denna punkt även om  notationen inte ändras)

$4\frac{dx}{dt} - 3 \frac{dy}{dt} = 0$

Vartefter 

$4\frac{dx}{dt} = 3 \frac{dy}{dt}$

$\cfrac{4}{3} = \cfrac{\cfrac{dy}{dt}}{ \cfrac{dx}{dt}} =\cfrac{dy}{dx}$

Vilket ger oss en konventionell lutning.

Se om du kan tillämpa denna sekvens

1. Derivera x och y med avseende på någon tredje variabel

2. Sätt in punkten istället för x och y

3. Lös ut derivatan

Detta är inte en fullständig förklaring utan mest notationjonglering. För en mer logisk förklaring till varför denna metod fungerar kräver Flervariabelanalys men då denna metod kan dyka upp redan i gymnasiet så följer jag konventionen av att bara presentera det som en algoritm. 

Hej!

Under vissa förutsättningar (som man kan läsa mer om Implicita funktionssatsen) beskriver din ekvation en funktion $y(x)$ kring $x = 0$; beskrivningen är implicit i den meningen att du inte kan lösa ut $x$ och formulera om din ekvation som y(x) = (något som bara beror på x).

För att finna lutningen $y'(0)$ använder du Produktregeln för derivering och Kedjeregeln för derivering på 

    $y(x) \cdot \sin 2x = x^2 + \cos(y(x))$;

när du har deriverat färdigt stoppar du in $x = 0$ och $y(0) = \pi/2$ för att så småningom lösa ut den sökta derivatan $y'(0)$.