Bestäm matrisen _B för avbildningen T

Hur avbildas basen av T?

Om tex T(B₁) = aB₁ + bB₂ + cB₃ + dB₄ så är första kolonnen i [T]_B lika med [a b c d]^T.

Tillägg: 16 apr 2025 20:04

Notera att A är en given matris. Ingenting du behöver räkna ut.

PATENTERAMERA skrev:

Hur avbildas basen av T?

Om tex T(B₁) = aB₁ + bB₂ + cB₃ + dB₄ så är första kolonnen i [T]_B lika med [a b c d]^T.

---

Tillägg: 16 apr 2025 20:04

Notera att A är en given matris. Ingenting du behöver räkna ut.

Jag förstår tyvärr inte frågan. Varför ställer du upp T(B1) som en linjärkombination av de övriga matriserna?  Jo jag vet att A är given matris men är bara ganska lost på denna uppgift eftersom jag såg att avbildningen T defineras som X=AX där jag inte vet tex vad X står för och antog att det är kanske B1, B2 , B3 eller B4 som man kan stoppa in som basvektorer och sen få ut en matris A med godtyckliga tal. 

Nej, du stoppar in en matris X (2 x 2) och får ut en ny matris AX (också 2 x 2).

Alltså, T är en (linjär) avbildning som avbildar en matris på en matris.

T(X) = AX. Där A är en given (fix) matris.

Som vanligt så kan du räkna ut matrisen för en linjär avbildning relativt en bas genom att titta på hur avbildningen avbildar basvektorerna.

Om vi har en linjär avbildning T och en bas B så gäller det generellt att

Col_i([T]_B) = [T(B_i)]_B, dvs i:te kolonnen hos avbildningsmatrisen utgörs av koordinaterna för vektorn T(B_i) relativt basen B. Det kommer då att gälla att [T(X)]_B = [T]_B[X]_B.

Tillägg: 16 apr 2025 22:19

OBS X $\mapsto$ AX betyder inte att X = AX, utan att X avbildas på AX, dvs att T(X) = AX.

PATENTERAMERA skrev:

Nej, du stoppar in en matris X (2 x 2) och får ut en ny matris AX (också 2 x 2).

Alltså, T är en (linjär) avbildning som avbildar en matris på en matris.

T(X) = AX. Där A är en given (fix) matris.

Som vanligt så kan du räkna ut matrisen för en linjär avbildning relativt en bas genom att titta på hur avbildningen avbildar basvektorerna.

Om vi har en linjär avbildning T och en bas B så gäller det generellt att

Col_i([T]_B) = [T(B_i)]_B, dvs i:te kolonnen hos avbildningsmatrisen utgörs av koordinaterna för vektorn T(B_i) relativt basen B. Det kommer då att gälla att [T(X)]_B = [T]_B[X]_B.

---

Tillägg: 16 apr 2025 22:19

OBS X $\mapsto$ AX betyder inte att X = AX, utan att X avbildas på AX, dvs att T(X) = AX.

Ok. Är det något sånt här vi ska göra? Han får vektorn [6 6] i basen S och vill då uttrycka den i basen B så att jag antar att man ska använda notationen [v]_B  =P_S=>B×[v]_s?

Ja, precis. [T]_B = [[T(B₁)]_B [T(B₂)]_B [T(B₃)]_B [T(B₄)]_B].

T(B₁) = AB₁ = $\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& 0\\ a_{21}& 0\end{array}\right]=a_{11}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+a_{21}\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]\Rightarrow$${\left[T\left(B_1\right)\right]}_B=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ 0\\ a_{21}\\ 0\end{array}\right]$.

Osv.

PATENTERAMERA skrev:

T(B₁) = AB₁ = $\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& 0\\ a_{21}& 0\end{array}\right]=a_{11}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+a_{21}\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]\Rightarrow$${\left[T\left(B_1\right)\right]}_B=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ 0\\ a_{21}\\ 0\end{array}\right]$.

Osv.

Hm jag har inte löst frågan ännu.  Men för att komma fram till vad du kom fram till så  ska jag börja som bilden i #5. Där ska man multiplicera Matrisen A med B1.  Jag får i alla fall [ a_11 a_22]_B. Jag behöver hitta uttrycka vektorn i basen B som [v]_B=(P_B=>S)^-1×[v]_S

Notera att basen B är standardbasen för R^2x2, dvs vektorrummet av reella 2x2-matriser.

Om du har en matris M = $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ så är det trivialt att uttrycka M med basen B.

M = aB₁ + bB₂ + cB₃ + dB₄.

Dvs [M]_B = $\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right]$.

PATENTERAMERA skrev:

Notera att basen B är standardbasen för R^2x2, dvs vektorrummet av reella 2x2-matriser.

Om du har en matris M = $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ så är det trivialt att uttrycka M med basen B.

M = aB₁ + bB₂ + cB₃ + dB₄.

Dvs [M]_B = $\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right]$.

Jag är fortfarande inte klar. Var upptagen med annat idag. Såhär långt kom jag:

Vi behöver bestämma  matrisen i basen B precis som jag nämnde i #5. Vi har [v]_s men vad är P_B=>S i vårt fall?

Jag diskuterade frågan med en klasskamrat och lyckades få fram ett svar. Tydligen ska man inte använda linjära basbyten som funkar då basen består av vektorer. Här hade vi matriser i en bas. Man behövde alltså ta en godtycklig matris M i 2x2 dimension med x1, x2,x3 och x4 och sen multiplicera med basvektorerna i B för att skriva den på basen B och sen multiplicera svaret med matrisen A för att det ska bli [T]_B och sen  svara med en matris. Det ska bli typ såhär. Klasskamraten gick aldrig in på varför vi ska göra såhär som vi gjort nu och inte använda [x]_B =P_B=>S[x]_S  som jag är så van med.