Bestäm matrisen till f i standardbasen

Matrisen A till f i standardbaserna ges av A = $\left[\begin{array}{cc}f\left(\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right)& f\left(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\right)\end{array}\right]\begin{array}{}\end{array}$, dvs en 3x2-matris.

PATENTERAMERA skrev:

Matrisen A till f i standardbaserna ges av A = $\left[\begin{array}{cc}f\left(\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right)& f\left(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\right)\end{array}\right]\begin{array}{}\end{array}$, dvs en 3x2-matris.

Så jag behöver hitta inversen va? matrisen jag har i bilden är inte i standardbasen utan i helt annan bas då input vektorerna är inte e1 ,e2 och e3.

Nja, du behöver inte räkna ut någon basbytesmatris här.

Man ser ju nästan direkt att

$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left(\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\right) , \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left(\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\right)$.

PATENTERAMERA skrev:

Nja, du behöver inte räkna ut någon basbytesmatris här.

Man ser ju nästan direkt att

$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left(\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\right) , \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left(\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\right)$.

Okej jag tror inte jag förstår hur man löser denna frågan eller med vilken metod jag ska lösa. Därför skulle jag vilja veta hur man steg för steg kan lösa denna typ av fråga som kan kännas svår när man inte ser hur man ska göra exakt.

Börja med att skriva ut en matris som ger R^2 -> R^3 med siffror. Det är inte en kvadratisk matris som tidigare nämnts. Hitta på ett exempel med siffror, vilka som helst.

oneplusone2 skrev:

Börja med att skriva ut en matris som ger R^2 -> R^3 med siffror. Det är inte en kvadratisk matris som tidigare nämnts. Hitta på ett exempel med siffror, vilka som helst.

Är inte säker på hur du menar nu.  Chat säger såhär. Jag antar det är så du menar

Ja det är ett exempel. Du kan se att om du stoppar in en R^2 vektor så blir resultatet en R^3 vektor. Skriv nu hur F ser ut enligt uppgiften baserat på (1,1) och (1,-1)

oneplusone2 skrev:

Ja det är ett exempel. Du kan se att om du stoppar in en R^2 vektor så blir resultatet en R^3 vektor. Skriv nu hur F ser ut enligt uppgiften i basen (1,1) och (1,-1)

Ok hur ska du nu avbilda vektorn (1,0) med hjälp av A ?

oneplusone2 skrev:

Ok hur ska du nu avbilda vektorn (1,0) med hjälp av A ?

Multiplicera A med (1,0) för då får vi en R^3 vektor. 

Nej. Utseendet på A som det står ovan är skriven i basen (1,1) (1,-1) . För att använda A som den är måste du ta reda på (1,0) utseende i basen (1,-1) (1,1) 

oneplusone2 skrev:

Nej. Utseendet på A som det står ovan är skriven i basen (1,1) (1,-1) . För att använda A som den är måste du ta reda på (1,0) utseende i basen (1,-1) (1,1) 

Hm men chat sa väl om A tar in en vektor i R^2 så får man ut en vektor i R^3.  Det låter som att man ska skriva [1,0] som en linjär kombination av baserna i matrisen A för att uttrycka c1, c2 som koordinatvektorer i standardbasen men jag begriper inte helt varför man gör så och det är inte intuitivt justnu.

Jag tror man ska använda linjäritet dvs dvs f(e1-e2)=f(e1)-f(e2) och f(e1+e2)=f(e1)+f(e2). 

Du vill bilda basvektorerna $\begin{pmatrix}{1 \\0}\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}{0 \\1}\end{pmatrix}$

$(e_1+e_2)$ blir nästan $\begin{pmatrix}{1 \\0}\end{pmatrix}$, kan du komma på något sätt att faktiskt få exakt $\begin{pmatrix}{1 \\0}\end{pmatrix}$?

D4NIEL skrev:

Du vill bilda basvektorerna $\begin{pmatrix}{1 \\0}\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}{0 \\1}\end{pmatrix}$

$(e_1+e_2)$ blir nästan $\begin{pmatrix}{1 \\0}\end{pmatrix}$, kan du komma på något sätt att faktiskt få exakt $\begin{pmatrix}{1 \\0}\end{pmatrix}$?

Ja man kan bilda ett ekvationssystem från f(e1+e2)=f(e1)+f(e2) samt f(e1-e2)=f(e1)-f(e2). Såhär får jag

Ja, så kan man göra.

Men försök också att förstå Patenterameras inlägg #4, det kan spara dig mycket tid på en tenta.

Om systemet är komplicerat kan man ställa upp det så här också:

$\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2=2\mathbf{f}_1+\mathbf{f}_2-\mathbf{f}_3$

$\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2=-\mathbf{f}_1-\mathbf{f}_2-\mathbf{f}_3$

Nu är enkelt att lösa ut vad $\mathbf{e}_1$ och $\mathbf{e}_2$ avbildas på.

D4NIEL skrev:

Ja, så kan man göra.

Men försök också att förstå Patenterameras inlägg #4, det kan spara dig mycket tid på en tenta.

Om systemet är komplicerat kan man ställa upp det så här också:

$\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2=2\mathbf{f}_1+\mathbf{f}_2-\mathbf{f}_3$

$\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2=-\mathbf{f}_1-\mathbf{f}_2-\mathbf{f}_3$

Nu är enkelt att lösa ut vad $\mathbf{e}_1$ och $\mathbf{e}_2$ avbildas på.

Det som inlägg #4 handlar om har jag inte förstått riktigt. Det hade varit bra med en pedagogisk förklaring än typ "man ser direkt att det här blir så" ,rent intuitvt ser jag tyvärr inte vad [1 0 ] och [0 1] blir på inlägg #4. Men jag tycker linjär avbildning metoden som AI föreslog såg hjälpsamt ut men då gäller att komma på att man kan utnyttja linjär avbildning egenskaperna. 

Var kommer 2f₁+f₂-f₃ samt HL leden från andra ekvationen ifrån? Hur vet man att man kan skriva ekvation (1)och ( 2) som e₁+e₂ samt e₁-e₃ ?