Bestäm maximala vinkel (Fysik/Universitet)

Är rörelsemängdsmomentet verkligen bevarat?

Se till att använda högerorienterat koordinatsystem.

Hur kom minustecknet in i bilden.

Precis som i den andra uppgiften så blir det mycket enklare om du använder cylinderkoordinater.

Annars kan du ju alltid ansätta att ${\vec{r}}_{B} = α {\vec{e}}_{x} + β {\vec{e}}_{y} + h {\vec{e}}_{z}, α^{2} + β^{2} = R^{2}$ . Dvs den befinner sig någonstans på randen, men vi vet inte exakt var.

PATENTERAMERA skrev:
Är rörelsemängdsmomentet verkligen bevarat?

Se till att använda högerorienterat koordinatsystem.

Hur kom minustecknet in i bilden.

Precis som i den andra uppgiften så blir det mycket enklare om du använder cylinderkoordinater.

Annars kan du ju alltid ansätta att ${\vec{r}}_{B} = α {\vec{e}}_{x} + β {\vec{e}}_{y} + h {\vec{e}}_{z}, α^{2} + β^{2} = R^{2}$ . Dvs den befinner sig någonstans på randen, men vi vet inte exakt var.

Ja den är bevarad i z i alla fall. Jag förstår inte vad du menar. Men min metod funkar också. Jag har ju v_B=-v_Bcosthetae_x ,0, v_Bsinthetae_z) samt r_B=-Rex+hez som jag tror är för att B rör sig inuti konen där höjden är h från 0 på kanten. Men min kryssprodukt ger fel komponent i ez och den ska ej bli 0.

Precis, z-komponenten bevaras. Men så skrev du inte.

Jag vet inte vad din metod är - du har ju inte visat någon lösning.

PATENTERAMERA skrev:
Precis, z-komponenten bevaras. Men så skrev du inte.

Jag vet inte vad din metod är - du har ju inte visat någon lösning.

Se #1 samt #3. Nej okej du har rätt, de andra komponenterna i ex och i ey är ju skilda från 0 och man kan ej säga att de bevaras.

Boken verkar utgå ez-ey och ex utan någon förklaring. Men jag bläddrade till denna sida och tror det är därför man inför koordinatsystemet som du menar med högerorienterad system

Ja, högersystem.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, högersystem.

Då blir det ett problem här. Se bild

PATENTERAMERA skrev:
Ja, högersystem.

v_B har ju komponenter i ez och ey riktning. Men när jag utför kryssprodukt blir det ej någon ez komponent..

Visa spoiler

PATENTERAMERA skrev:

Visa spoiler

Så inför tentor ska man komma ihåg horisontell hastighet innebär att hastighet i A ligger i xy-planet dvs A är i ex riktning enligt högersystem koordinatsystem. Vad gäller B så var det fel av mig anta att vx är 0 bara för att den ej är givet eller finns med bland komposanterna.

Horisontell hastighet innebär att v_z är noll. Pga av att vi rör oss på en kon så måste även v_y vara noll i A.

Man kanske skall förklara att i B har vi valt ett annat koordinatsystem med samma z-axel men med x- och y-axlarna roterade så att B:s koordinater i detta system blir (0, R, h).

Korrektion.

PATENTERAMERA skrev:
Horisontell hastighet innebär att v_z är noll. Pga av att vi rör oss på en kon så måste även v_y vara noll i A.

Man kanske skall förklara att i B har vi valt ett annat koordinatsystem med samma z-axel men med x- och y-axlarna roterade så att B:s koordinater i detta system blir (0, R, h).

Okej men om det ej vore för vår figur hade jag aldrig listat ut att i punkten A så rör sig v_A i ex bara. Jag tror inte jag kan se framför mig hur vy och vz är 0 pga ordet horisontell. Det är bara så ointuitivt och jag har ej heller tiden att bevisa för mig själv på en tenta varför v_0,A bara är i ex såsom koordinatsystemet ser ut.

Man får öva sig i att se.

PATENTERAMERA skrev:
Horisontell hastighet innebär att v_z är noll. Pga av att vi rör oss på en kon så måste även v_y vara noll i A.

Man kanske skall förklara att i B har vi valt ett annat koordinatsystem med samma z-axel men med x- och y-axlarna roterade så att B:s koordinater i detta system blir (0, R, h).

Fast jag tror inte jag utgick från ett annat koordinatsystem för att bestämma ortsvektorn i B? Jag trodde vi hade högersystem hela tiden.

PATENTERAMERA skrev:
Man får öva sig i att se.

Ja. Men nu var de snälla och visade med en figur att hur v0 är riktad. Om man ritar ett koordinatsystem så ser man att v_A måste peka i ex. Jag ser inte på annat sätt. Sen att anta att de andra komponenter är 0 är något jag ej vet varför. Men här gissar jag bara att det är för att vi rör oss enbart i ex riktning som figuren visar

Högersystem hade vi. Men så som vi räknade så skulle det ju bara vara rätt om partikeln roterat ett helt antal varv kring z-axeln. Men vi kan alltid införa ett nytt koordinatsystem för B och behandla problemet på liknande sätt som i A, men det måste man naturligtvis klargöra på en tenta. Det hela fungerar eftersom vi använder samma z-axel.

PATENTERAMERA skrev:
Högersystem hade vi. Men så som vi räknade så skulle det ju bara vara rätt om partikeln roterat ett helt antal varv kring z-axeln. Men vi kan alltid införa ett nytt koordinatsystem för B och behandla problemet på liknande sätt som i A, men det måste man naturligtvis klargöra på en tenta. Det hela fungerar eftersom vi använder samma z-axel.

Jag tycker det är jätte förvirrande med flera koordinatsystem pga vi är i B. Vad menar du med att man ska införa ett koordinatsystem i den punkten? Jag känner inte att jag hänger med längre. Mitt koordinatsystem är för hela konen och ej för punkterna enskild.

Ja, eller så tycker man att det är praktiskt eftersom det förenklar beräkningen.

Testa även med att utnyttja cylinderkoordinater. Det är nog tänkt att man skall lösa på det viset.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, eller så tycker man att det är praktiskt eftersom det förenklar beräkningen.

Testa även med att utnyttja cylinderkoordinater. Det är nog tänkt att man skall lösa på det viset.

Enligt lösningsförslaget så är det bevarande av rörelsemängdsmoment och energi för att lösa problemet. Det är precis vad jag försöker göra , men du säger att jag ska införa ett nytt koordinatsystem i B

Det är i praktiken det vi gör även om det var lite implicit.

PATENTERAMERA skrev:
Det är i praktiken det vi gör även om det var lite implicit.

Asså jag har ingen aning hur du tänker dig med nytt koordinatsystem för att bestämma ortsvektorn i B. Men jag använde bara det AI sa om att man kan tänka sig att den hamnar vid randen när den rört sig så den är på avstånd R och höjden h. I figuren står det ju bara där men den rör sig som de säger i texten och vi vill ju komma åt hur långt den är från origo längst ned.

Först har vi valt ett koordinatsystem så at x-koordinaten i A är noll. Vi kan sedan på liknande sätt välja ett nytt koordinatsystem för B så att x-koordinaten i B blir noll. z-axlarna skall dock sammanfalla för koordinatsystemen.

Det är svårt att veta hur komposanterna till v_B är riktad så man ska nog sätta alla som v_x,v_y och v_z och sen använda z-komponenten av resultatet från kryssprodukten. Jag var snabb med att säga hur de var riktade innan.

Ja, man skall undvika antaganden som man inte har motiverat.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, man skall undvika antaganden som man inte har motiverat.

Nej jag gjorde bara antagande och det visade sig ge mig bara 0 på z-komponent efter kryssprodukten. Men ja man ska motivera ändå, men det kändes ej bara rimlig att skriva att komposanterna till v_b är ey och ez för det vet man inte ibörjan.

PATENTERAMERA skrev:
Först har vi valt ett koordinatsystem så at x-koordinaten i A är noll. Vi kan sedan på liknande sätt välja ett nytt koordinatsystem för B så att x-koordinaten i B blir noll. z-axlarna skall dock sammanfalla för koordinatsystemen.

Ok , hur gör vi det? Vad är tanken bakom att x-koordinaten ska vara 0 och bara y och z är de relevanta.

Tänk att vi först inför ett koordinatsystem så att A ligger rakt ovanför y axeln. Sedan roterar vi koordinatsystemet kring z-axeln så att B istället hamnar precis ovanför y-axeln. Se fig.

PATENTERAMERA skrev:
Tänk att vi först inför ett koordinatsystem så att A ligger rakt ovanför y axeln. Sedan roterar vi koordinatsystemet kring z-axeln så att B istället hamnar precis ovanför y-axeln. Se fig.

Ja ok. Det kan man även se från min figur att om man tittar upp så ligger B i z-led och i y-led. Men hur bestämmer man ortsvektorn i B då ?räcker ej med att säga bara den är på höjd z och avstånd R i y-led. Ska man tänka att man roterar konen så att B är på höjd z och avstånd R? Jag trodde partikeln rörde sig från A till B och sen att den fortsätter röra sig . Då måste slutdestination vara i B.

Ja, partikeln glider på konen från till B. Sedan flyger den ur konen.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, partikeln glider på konen från till B. Sedan flyger den ur konen.

Ok, men det här med roterande du nämnde. Var kommer den in? Var det bara för att bestämma ortsvektorn i B?

1)Ett annat problem jag har är vad v_Bx är ? Vi vet att v_b har komposanter vertikal och horisontell. 2)Ska man då tänka att v_Bx=v_Bcostheta och v_Bsintheta=v_By?

3)Det går alltså inte att säga att v_z=v_Bsintheta och v_Bcostheta =v_y?

Fysiker19 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Ja, partikeln glider på konen från till B. Sedan flyger den ur konen.

Ok, men det här med roterande du nämnde. Var kommer den in? Var det bara för att bestämma ortsvektorn i B?

Nja jag menar bara att du kan få koordinatsystemet för B genom lämplig rotation av det koordinatsystem som användes vid A.

PATENTERAMERA skrev:
Fysiker19 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Ja, partikeln glider på konen från till B. Sedan flyger den ur konen.

Ok, men det här med roterande du nämnde. Var kommer den in? Var det bara för att bestämma ortsvektorn i B?

Nja jag menar bara att du kan få koordinatsystemet för B genom lämplig rotation av det koordinatsystem som användes vid A.

Hm jag tror ej jag ser hur man kan rotera koordinatsystemet i A så att den passar in i B , för jag trodde det var så du tänkte att vi får ortsvektorn till B. Kan man ej tänka på att man roterar bascirkel till konen så att punkten B hamnar typ där och då har den Rey och hez ? Se figuren nedan.

Fysiker19 skrev:

1)Ett annat problem jag har är vad v_Bx är ? Vi vet att v_b har komposanter vertikal och horisontell. 2)Ska man då tänka att v_Bx=v_Bcostheta och v_Bsintheta=v_By?

3)Det går alltså inte att säga att v_z=v_Bsintheta och v_Bcostheta =v_y?

Om du kollar beräkningen som jag gjorde så ser du att man kan få fram vad v_x är i B. De andra komponenterna behöver man inte veta här. v_x = -v₀/2.

Sedan har vi att $|{\vec{v}}_{B}| \cos θ = {\vec{v}}_{B} \cdot {\vec{e}}_{θ} = {\vec{v}}_{B} \cdot (- {\vec{e}}_{x}) = - v_{x} = v_{0} / 2$ .

PATENTERAMERA skrev:
Fysiker19 skrev:

1)Ett annat problem jag har är vad v_Bx är ? Vi vet att v_b har komposanter vertikal och horisontell. 2)Ska man då tänka att v_Bx=v_Bcostheta och v_Bsintheta=v_By?

3)Det går alltså inte att säga att v_z=v_Bsintheta och v_Bcostheta =v_y?

Om du kollar beräkningen som jag gjorde så ser du att man kan få fram vad v_x är i B. De andra komponenterna behöver man inte veta här. v_x = -v₀/2.

Sedan har vi att $|{\vec{v}}_{B}| \cos θ = {\vec{v}}_{B} \cdot {\vec{e}}_{θ} = {\vec{v}}_{B} \cdot (- {\vec{e}}_{x}) = - v_{x} = v_{0} / 2$ .

Förstår inte. Efter att man har gjort kryssprodukt och fått fram Rv_x så ska man skriva skalärprodukten mellan e_x och v_x som v_B*e_x=|v_B|costheta. v_B*-e_x=-v_x . Vi vet att v_A*e_x=v0=v_x

Vad är det som du inte förstår?

Fysiker19 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Fysiker19 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Ja, partikeln glider på konen från till B. Sedan flyger den ur konen.

Ok, men det här med roterande du nämnde. Var kommer den in? Var det bara för att bestämma ortsvektorn i B?

Nja jag menar bara att du kan få koordinatsystemet för B genom lämplig rotation av det koordinatsystem som användes vid A.

Hm jag tror ej jag ser hur man kan rotera koordinatsystemet i A så att den passar in i B , för jag trodde det var så du tänkte att vi får ortsvektorn till B. Kan man ej tänka på att man roterar bascirkel till konen så att punkten B hamnar typ där och då har den Rey och hez ? Se figuren nedan.

Menar du så?

PATENTERAMERA skrev:
Vad är det som du inte förstår?

Se ändring i #37.

Jag tänker mekaniska energi borde vara

mgh_A+mv_A²/2=mgh_B+mv_B²/2

där h_A=h/2 och h_B=h

Fysiker19 skrev:

Jag tänker mekaniska energi borde vara

mgh_A+mv_A²/2=mgh_B+mv_B²/2

där h_A=h/2 och h_B=h

Ja, precis.

PATENTERAMERA skrev:

Förstår ej första figuren. B har alltså rört sig från sitt nuvarande läge till läget där den är på höjden h och avståndet R?

Fysiker19 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Fysiker19 skrev:

1)Ett annat problem jag har är vad v_Bx är ? Vi vet att v_b har komposanter vertikal och horisontell. 2)Ska man då tänka att v_Bx=v_Bcostheta och v_Bsintheta=v_By?

3)Det går alltså inte att säga att v_z=v_Bsintheta och v_Bcostheta =v_y?

Om du kollar beräkningen som jag gjorde så ser du att man kan få fram vad v_x är i B. De andra komponenterna behöver man inte veta här. v_x = -v₀/2.

Sedan har vi att $|{\vec{v}}_{B}| \cos θ = {\vec{v}}_{B} \cdot {\vec{e}}_{θ} = {\vec{v}}_{B} \cdot (- {\vec{e}}_{x}) = - v_{x} = v_{0} / 2$ .

Förstår inte. Efter att man har gjort kryssprodukt och fått fram Rv_x så ska man skriva skalärprodukten mellan e_x och v_x som v_B*e_x=|v_B|costheta. v_B*-e_x=-v_x . Vi vet att v_A*e_x=v0=v_x

Detta

I figuren har jag ritat en enhetsvektor ${\vec{e}}_{θ}$ som tangerar konens bascirkel i punkten B. Vinkeln $θ$ är såldes vinkeln mellan ${\vec{v}}_{B}$ och ${\vec{e}}_{θ}$ .

Såsom jag lagt in koordinatsystemet (se andra figuren) så är ${\vec{e}}_{θ} = - {\vec{e}}_{x}$ i B.

PATENTERAMERA skrev:
I figuren har jag ritat en enhetsvektor ${\vec{e}}_{θ}$ som tangerar konens bascirkel i punkten B. Vinkeln $θ$ är såldes vinkeln mellan ${\vec{v}}_{B}$ och ${\vec{e}}_{θ}$ .

Såsom jag lagt in koordinatsystemet (se andra figuren) så är ${\vec{e}}_{θ} = - {\vec{e}}_{x}$ i B.

Jag fattar 0 justnu för jag vet inte vad du svarar på. Jag förstår inte din lösning och det du pratar om med enhetsvektorerna.

Har du tittat på figuren?

PATENTERAMERA skrev:
Har du tittat på figuren?

Om du pratar om figuren i #44 så har jag gjort det. Men jag förstår den inte och varför den är som det är. Det känns som att B har flyttats till en punkt för att vi ska få ett avstånd R och höjden h. Men det är tyvärr svårt att tyda figuren.

Första figuren. Vad är oklart?

PATENTERAMERA skrev:
Första figuren. Vad är oklart?

Jag vet inte vad du försöker säga med den och förstår ej vad som händer. Du ritade en ey vilket låter oförståeligt för det bör vara en ey och ez där.

Vektorn som jag ritade är en tangentvektor vid B till bascirkeln.

Du skall bestämma vinkeln theta mellan denna tangentvektor och hastighetsvektorn i B.

PATENTERAMERA skrev:
Vektorn som jag ritade är en tangentvektor vid B till bascirkeln.

Du skall bestämma vinkeln theta mellan denna tangentvektor och hastighetsvektorn i B.

PATENTERAMERA skrev:

Jag förstår inte varför koordinatsystemet ser ut såhär samt hur man kommer på detta.

1)varför är e_x negativt definierad?

2) vad är det som tangerar hastighet i B samt vinkeln? Är det ex eller ey?

3) varför har vi helt andra koordinatsystem i B? Vad är målet med det? Det här är något jag aldrig skulle kunna komma på en tenta och jag vill helst inte krångla till för mig själv än vad det redan är.

Det var helt enkelt så jag valde koordinatsystemet. Man kunde valt det så att ${\vec{e}}_{x} = {\vec{e}}_{θ}$ . Och då får man att ${\vec{r}}_{B} = - R {\vec{e}}_{y} + h {\vec{e}}_{z}$ i stället.

2) Tangentvektorn tangerar bascirkeln. Den är alltså ritad i nämnda tangentriktning. Du skall bestämma vinkel mellan tangentriktning och hastighet.

3) Målet är att det blir enklare. Men cylinderkoordinater hade väl varit det enklaste.

PATENTERAMERA skrev:
2) Tangentvektorn tangerar bascirkeln. Den är alltså ritad i nämnda tangentriktning. Du skall bestämma vinkel mellan tangentriktning och hastighet.

3) Målet är att det blir enklare. Men cylinderkoordinater hade väl varit det enklaste.

2) var är tangentvektor som tangerar bascirkeln? Är det e_y som är tangentvektor?

PATENTERAMERA skrev:
Det var helt enkelt så jag valde koordinatsystemet. Man kunde valt det så att ${\vec{e}}_{x} = {\vec{e}}_{θ}$ . Och då får man att ${\vec{r}}_{B} = - R {\vec{e}}_{y} + h {\vec{e}}_{z}$ i stället.

Hur får man r_B =-Rey +hez mha ditt koordinatsystem?

Nej, om man har e_x i samma riktning som e_theta.

PATENTERAMERA skrev:
Nej, om man har e_x i samma riktning som e_theta.

Förstår inte. Vad är det du svarar på? Mina frågor handlar om #59 och #58. Jag förstår inte fortfarande

PATENTERAMERA skrev:

Så det är fel att rita zyz koordinatsystemet som jag gjorde i #1? Man ska rita såhär som i första och ej som i andra bilden?

1)

2)

Ja, när vi jobbar med punkt B. Med punkt A kan man göra så här.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, när vi jobbar med punkt B. Med punkt A kan man göra så här.

Jag vill gärna att vi har samma koordinatsystem för båda så jag ritar gärna som i 1) i #63

Om du tycker det blir förvirrande så kan du ha prim på koordinaterna vid B. x’, y’, z’.

PATENTERAMERA skrev:
Om du tycker det blir förvirrande så kan du ha prim på koordinaterna vid B. x’, y’, z’.

Jag tror mycket är förvirrande speciellt hue v_a och v_B har olika koordinatsystem när vi vill att de ska ha samma. Jag skulle önska att vi gör det enkelt för det här kommer jag ej minnas.

Om du bara använder koordinatsystemet i A så kan du skriva ${\vec{r}}_{B} = a {\vec{e}}_{x} + b {\vec{e}}_{y} + h {\vec{e}}_{z}$ . Där talen a och b måste uppfylla a² + b² = R² vilket innebär att B:s avstånd till z-axeln är R, som sig bör. Det är allt du kan säga.

Själva konen kan skrivas x² + y² = (R/h)²z².

Tillägg: 20 aug 2026 00:52

Obs det där med konen behöver man inte här.

PATENTERAMERA skrev:
Om du bara använder koordinatsystemet i A så kan du skriva ${\vec{r}}_{B} = a {\vec{e}}_{x} + b {\vec{e}}_{y} + h {\vec{e}}_{z}$ . Där talen a och b måste uppfylla a² + b² = R² vilket innebär att B:s avstånd till z-axeln är R, som sig bör. Det är allt du kan säga.

Själva konen kan skrivas x² + y² = (R/h)²z².

Tror ej jag hänger med.

$H_{z A} / m = R v_{0} / 2 .$ Sedan tidigare.

Sätt ${\vec{v}}_{B} = v_{x} {\vec{e}}_{x} + v_{y} {\vec{e}}_{y} + v_{z} {\vec{e}}_{z}$ .

$\frac{H_{z B}}{m} = {\vec{e}}_{z} \cdot ({\vec{r}}_{B} \times {\vec{v}}_{B}) = \dots = a v_{y} - b v_{x}$ .

H_z/m = konstant ger därmed att $a v_{y} - b v_{x} = R v_{0} / 2$ . (I).

Sedan gäller det att beräkna ${\vec{e}}_{θ}$ du kan göra det mha kryssprodukten.

${\vec{e}}_{θ} = \frac{{\vec{e}}_{z} \times (a {\vec{e}}_{x} + b {\vec{e}}_{y})}{|{\vec{e}}_{z} \times (a {\vec{e}}_{x} + b {\vec{e}}_{y})|} = \frac{(a {\vec{e}}_{y} - b {\vec{e}}_{x})}{|(a {\vec{e}}_{x} + b {\vec{e}}_{y})|} = \frac{(a {\vec{e}}_{y} - b {\vec{e}}_{x})}{R}$ .

$|{\vec{v}}_{B}| \cos θ = {\vec{e}}_{θ} \cdot {\vec{v}}_{B} = \dots = \frac{a v_{y} - b v_{x}}{R} = (I) = v_{0} / 2 .$

Således så får vi igen att $\cos θ = \frac{v_{0}}{2 |{\vec{v}}_{B}|}$ .

PATENTERAMERA skrev:
$H_{z A} / m = R v_{0} / 2 .$ Sedan tidigare.

Sätt ${\vec{v}}_{B} = v_{x} {\vec{e}}_{x} + v_{y} {\vec{e}}_{y} + v_{z} {\vec{e}}_{z}$ .

$\frac{H_{z B}}{m} = {\vec{e}}_{z} \cdot ({\vec{r}}_{B} \times {\vec{v}}_{B}) = \dots = a v_{y} - b v_{x}$ .

H_z/m = konstant ger därmed att $a v_{y} - b v_{x} = R v_{0} / 2$ . (I).

Sedan gäller det att beräkna ${\vec{e}}_{θ}$ du kan göra det mha kryssprodukten.

${\vec{e}}_{θ} = \frac{{\vec{e}}_{z} \times (a {\vec{e}}_{x} + b {\vec{e}}_{y})}{|{\vec{e}}_{z} \times (a {\vec{e}}_{x} + b {\vec{e}}_{y})|} = \frac{(a {\vec{e}}_{y} - b {\vec{e}}_{x})}{|(a {\vec{e}}_{x} + b {\vec{e}}_{y})|} = \frac{(a {\vec{e}}_{y} - b {\vec{e}}_{x})}{R}$ .

$|{\vec{v}}_{B}| \cos θ = {\vec{e}}_{θ} \cdot {\vec{v}}_{B} = \dots = \frac{a v_{y} - b v_{x}}{R} = (I) = v_{0} / 2 .$

Således så får vi igen att $\cos θ = \frac{v_{0}}{2 |{\vec{v}}_{B}|}$ .

Tidigare sa att du vi söker vinkeln som är mellan v_B och tangentvektor enligt uppgiften. Om man ritar koordinatsystemet i cylinderkoordinater så antar jag att man tänker sig etheta som den där tangentvektor till bascirkel och man kan ju ställa skalärprodukten mellan v_B och etheta. Tänker jag rätt?

Rätt.

PATENTERAMERA skrev:
Rätt.

Åh okej tack. Jag känner att jag har nu koll på det här.