Bestäm maximipunkten till funktionen y = (x^2 + 3) / (x - 1).

Jag får samma svar. Man får jobba sig igenom deriveringen.

rapidos skrev:

Jag får samma svar. Man får jobba sig igenom deriveringen.

Kan du snälla precisera vilket samma svar fick du?

Och vad är min nästa steg?

y'=0 => x=3, y=6 och x=-1, y=-2

max och min kan undersökas med 2:a derivatan. Bara att derivera engång till.

rapidos skrev:

y'=0 => x=3, y=6 och x=-1, y=-2

max och min kan undersökas med 2:a derivatan. Bara att derivera engång till.

 2:a derivatan räknar jag med hjälp av kvotregeln: 
y’’ =  {((2x - 2) (x^2 - 2x + 1)) - (x^2 - 2x - 3) (2x - 2)} / (x^2  - 2x + 1)^2

Skrev jag rätt? Hur är det bättre att lösa?

Man kan utföra divisionen först:

$\frac{x^2+3}{x-1} = x+1+\frac{4}{x-1}$.

Laguna skrev:

Man kan utföra divisionen först:

$\frac{x^2+3}{x-1} = x+1+\frac{4}{x-1}$.

Så min första steg med kvotregeln är inte rätt? 

1. Kvotregeln 

Jag fick (x^2 - 2x - 3) / (x^2  - 2x + 1) = 0

x^2 - 2x - 3 = 0 

Sedan använde jag pq-formeln och fick :  

x1 = 3  y1 = (3^2 + 3) / (3 - 1) = 6  Extrempunkt i (3;6)

x2 = - 1  y2 = ( (-1)^2 + 3) / (-1 - 1) = - 2  Extrempunkt i (-1;-2)

Stämmer allt? 

y'' verkar ok. det bli mer översiktligt om du behåller (x-1) genom hela beräkningen. Sätt in x-värdena och kolla tecken på y'' värdena.

Laguna visar en väg som gör deriveringen enklare. Annars är y' och y'' korrekt.

AAnastasiia skrev:

Laguna skrev:

Man kan utföra divisionen först:

$\frac{x^2+3}{x-1} = x+1+\frac{4}{x-1}$.

Så min första steg med kvotregeln är inte rätt? 

1. Kvotregeln 

Jag fick (x^2 - 2x - 3) / (x^2  - 2x + 1) = 0

x^2 - 2x - 3 = 0 

Sedan använde jag pq-formeln och fick :  

x1 = 3  y1 = (3^2 + 3) / (3 - 1) = 6  Extrempunkt i (3;6)

x2 = - 1  y2 = ( (-1)^2 + 3) / (-1 - 1) = - 2  Extrempunkt i (-1;-2)

Stämmer allt? 

Det kan säkert vara rätt, jag har inte kollat. Jag bara föreslog ett enklare sätt att räkna.

rapidos skrev:

y'' verkar ok. det bli mer översiktligt om du behåller (x-1) genom hela beräkningen. Sätt in x-värdena och kolla tecken på y'' värdena.

1. Behåller (x-1) ? Vad är det? 
jag kan inte förstå

2. Sätt in x-värdena. Så först sätta x = 3 och sedan x = -1 ?

Skulle jag sätta in x-värdena i den här y’’ =  {((2x - 2) (x^2 - 2x + 1)) - (x^2 - 2x - 3) (2x - 2)} / (x^2  - 2x + 1)^2 ??

Uttrycket blir mer översiktligt om du skriver t ex y'=(x^2-2x-3)/(x-1)^2.

Ja du måste sätta in x-värdena i y''. Du kan ju försöka förenkla först. Vad betyder det om y''>0 eller y''<0 när du sätter in x-värdena.

rapidos skrev:

Uttrycket blir mer översiktligt om du skriver t ex y'=(x^2-2x-3)/(x-1)^2.

Ja du måste sätta in x-värdena i y''. Du kan ju försöka förenkla först. Vad betyder det om y''>0 eller y''<0 när du sätter in x-värdena.

1. Tack för tips. Jag beräknade y’’ =  {((2x - 2) (x^2 - 2x + 1)) - (x^2 - 2x - 3) (2x - 2)} / (x  - 1)^2 

Och jag fick y’’ = 8(x - 1) / (x - 1)^2 = 8 / (x - 1)

x ≠ 0

2. Maximipunkt om y’ = 0 då y’’ < 0 (negativ)

y ’’ (3) = 8 / (3 - 1) = 4

eller 

y ’’ (-1) = 8 / (-1 -1) = - 4 negativ

Stämmer?

rapidos skrev:

Uttrycket blir mer översiktligt om du skriver t ex y'=(x^2-2x-3)/(x-1)^2.

Ja du måste sätta in x-värdena i y''. Du kan ju försöka förenkla först. Vad betyder det om y''>0 eller y''<0 när du sätter in x-värdena.

Oj, det måste vara (x-1)^4

y’’ =  {((2x - 2) (x^2 - 2x + 1)) - (x^2 - 2x - 3) (2x - 2)} / (x  - 1)^4

Och jag fick y’’ = 8(x - 1) / (x - 1)^4 = 8 / (x - 1)^3

x ≠ 1

2. Maximipunkt om y’ = 0 då y’’ < 0 (negativ)

y ’’ (3) = 8 / (3 - 1)^3 = 8 / 8 = 1

eller 

y ’’ (-1) = 8 / (-1 -1)^3 = 8 / -8 = - 1 negativ

Stämmer?

Så här ser funktionen ut.

rapidos skrev:

Så här ser funktionen ut.

Det vet jag

Stämmer det vad jag skrev innan?

y’’(-1) = -1 

Ja, det betyder att y''=-1 är en maxpunkt. Jag tänkte att bilden gav dig svaret.

rapidos skrev:

Ja, det betyder att y''=-1 är en maxpunkt. Jag tänkte att bilden gav dig svaret.

Tack!